Num espaço vetorial com produto interno, o ângulo entre dois vetores não-nulos u, v é, por definição, o ângulo \theta=\Varangle(u, v), tal que 0 \leq \theta \leq 180^{\circ} e \cos \theta=\langle u, v\rangle /|u||v|. Dito isto, e dados os vetores u=(3,4), v=(1,-1) e w=(-1,1), ponha em ordem crescente os ângulos \Varangle(u, v), \Varangle(u, w) e \Varangle(v, w).

Passo 1

O enunciado pede para comparar os ângulos \Varangle(u,v), \Varangle(u,w) e \Varangle(v,w)
num espaço vetorial com produto interno, onde por definição
\cos\theta \;=\;\frac{\langle u,v\rangle}{\lvert u\rvert\,\lvert v\rvert}
e \theta\in[0,180^\circ]. Vamos usar essa fórmula para cada par de vetores.

Passo 2

Calcular as normas dos vetores
\lvert u\rvert = \sqrt{3^2+4^2} = 5,\quad \lvert v\rvert = \sqrt{1^2+(-1)^2} = \sqrt{2},\quad \lvert w\rvert = \sqrt{(-1)^2+1^2} = \sqrt{2}.

Passo 3

Calcular os produtos internos e as cosenos:
\langle u,v\rangle = 3\cdot1 + 4\cdot(-1) = -1, \quad \cos\Varangle(u,v) = \frac{-1}{5\sqrt{2}} \approx -0{,}141.
\langle u,w\rangle = 3\cdot(-1) + 4\cdot1 = 1, \quad \cos\Varangle(u,w) = \frac{1}{5\sqrt{2}} \approx 0{,}141.
\langle v,w\rangle = 1\cdot(-1) + (-1)\cdot1 = -2, \quad \cos\Varangle(v,w) = \frac{-2}{\sqrt{2}\,\sqrt{2}} = -1.
Como \operatorname{arccos} é decrescente em [0,180^\circ], maior \cos\theta significa menor \theta.

Passo 4

Comparando as cosenos:
\cos\Varangle(v,w)=-1 < \cos\Varangle(u,v)\approx -0{,}141 < \cos\Varangle(u,w)\approx 0{,}141,
logo, em ordem crescente de ângulo:
\Varangle(u,w) < \Varangle(u,v) < \Varangle(v,w).

Resposta

\Varangle(u,w) < \Varangle(u,v) < \Varangle(v,w)

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