Sem fazer cálculo algum, diga quais são as bases obtidas de \mathcal{V}=\left\{v_{1}, v_{2}, v_{3}\right\} pelo processo de Gram-Schmidt nos seguintes casos:
(b) v_{1}=(-1,1,0), v_{2}=(5,0,0), v_{3}=(2,-2,3).

Passo 1

O enunciado dá o conjunto de vetores \displaystyle v_1=(-1,1,0),\;v_2=(5,0,0),\;v_3=(2,-2,3)
e pede a base ortogonal e, em seguida, a base ortonormal obtidas pelo processo de Gram–Schmidt.

Passo 2

O primeiro vetor da base ortogonal é
u_1 \;=\; v_1.

Passo 3

O segundo vetor ortogonal é obtido subtraindo de v_2 sua projeção em u_1:
u_2 \;=\; v_2 \;-\;\frac{\langle v_2,u_1\rangle}{\langle u_1,u_1\rangle}\,u_1.

Passo 4

O terceiro vetor ortogonal é obtido subtraindo de v_3 suas projeções em u_1 e em u_2:
u_3 \;=\; v_3 \;-\;\frac{\langle v_3,u_1\rangle}{\langle u_1,u_1\rangle}\,u_1 \;-\;\frac{\langle v_3,u_2\rangle}{\langle u_2,u_2\rangle}\,u_2.

Passo 5

Para obter a base ortonormal, basta normalizar cada u_i:
e_i \;=\;\frac{u_i}{\|u_i\|},\quad i=1,2,3.

Resposta

A base ortogonal gerada por Gram–Schmidt é
\{\,u_1,\;u_2,\;u_3\},
e a correspondente base ortonormal é
\{\,e_1,\;e_2,\;e_3\},
onde u_1,u_2,u_3 e e_i=u_i/\|u_i\| são dados pelas fórmulas acima.

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