Dado o PVI abaixo
Utilize o teorema de existência e unicidade e verifique se a solução do PVI existe e é única.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um problema de valor inicial (PVI) que envolve uma equação diferencial e quer saber se existe uma solução única para ele. Esse assunto está na área de Equações Diferenciais, especificamente usando o Teorema de Existência e Unicidade. Para resolver isso, vamos precisar reescrever a equação de uma forma que a gente possa aplicar o teorema e verificar se todas as condições estão satisfeitas.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação dada na forma padrão de uma equação diferencial. A equação que você tem é:
Vamos isolar
:
Passo 3
Agora, identificamos a função $ f(x, y) $ que está na forma da equação diferencial padrão
. Da nossa equação, temos:
Passo 4
O próximo passo é verificar se essa função $ f(x, y) $ e sua derivada parcial em relação a $ y $ são contínuas em uma região ao redor do ponto inicial dado, que é $ (1, 1) $.
Primeiro, vamos verificar a continuidade de $ f(x, y) $:
O denominador $ x y $ não pode ser zero, então precisamos que $ x \neq 0 $ e $ y \neq 0 $. Como o domínio é $ x > 0 $ e o ponto inicial é $ (1, 1) $, estamos em uma região onde $ f(x, y) $ é contínua.
Agora, vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $:
Simplificando, vemos que essa derivada também é contínua na mesma região onde $ x > 0 $ e $ y \neq 0 $.
Passo 5
Com $ f(x, y) $ e sua derivada parcial contínuas na região ao redor do ponto inicial $ (1, 1) $, podemos aplicar o Teorema de Existência e Unicidade de Picard-Lindelöf. Esse teorema diz que se $ f $ e $ \frac{\partial f}{\partial y} $ são contínuos em um retângulo contendo $ (x_0, y_0) $, então existe uma única solução para a equação diferencial que passa por esse ponto inicial.
Resposta
Portanto, pelo Teorema de Existência e Unicidade, existe uma solução única para o PVI dado $ \left{
\right. $.