Escolha e resolva duas das questões abaixo: (Obs. As soluções podem ser dadas implicitamente.)
(a) Encontre uma família de soluções da EDO y^prime=y^2 sec x tan x.
(b) Encontre uma família de soluções da EDO y^prime=1+x^2-y^2-x^2 y^2, y<1.
© Mostre que 3 x y+y^2+(x y+x^2) y^prime=0 não é uma equação exata e admite x como fator integrante. Além disso, encontre a família de soluções da EDO.

Passo 1

O exercício pede para resolver duas EDOs separáveis: (a) y' = y^2 sec x tan x e (b) y' = 1 + x^2 - y^2 - x^2 y^2 com a condição y<1. Ambos são equações de variáveis separáveis; vamos isolar y e x em lados opostos antes de integrar.

Passo 2

Para (a), escrevemos a equação como dydx = y^2 sec x tan x. Separando variáveis, temos
dyy^2 = sec x tan x , dx
Integramos ambos os lados: sabemos que integral y^-2 dy = -y^-1 + C1 e integral sec x tan x dx = sec x + C2. Unindo as constantes em uma só, obtemos
-1y = sec x + C
Isolando y, vem
y = -1sec x + C

Passo 3

Para (b), note que
y' = 1 + x^2 - y^2 - x^2 y^2 = (1 - y^2)(1 + x^2)
Então fazemos a separação:
dy1 - y^2 = (1 + x^2) , dx
Integrando, usamos integral dy1 - y^2 = arctanh y + C1 e integral (1 + x^2) dx = x + x^33 + C2. Juntando constantes,
arctanh y = x + x^33 + C
Aplicando a função inversa tanh e considerando y<1, obtemos
y = tanhl(x + tfracx^33 + Cr)

Resposta

As famílias de soluções gerais são: (a) y(x) = -1/(sec x + C1); (b) y(x) = tanhl(x + x^3/3 + C2r), onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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