Escolha e resolva duas das questões abaixo: (Obs. As soluções podem ser dadas implicitamente.)
(a) Encontre uma família de soluções da
.
(b) Encontre uma família de soluções da EDO
.
© Mostre que
não é uma equação exata e admite
como fator integrante. Além disso, encontre a família de soluções da EDO.
(a) Encontre uma família de soluções da
(b) Encontre uma família de soluções da EDO
© Mostre que
Passo 1
O exercício pede para resolver duas EDOs separáveis: (a)
e (b)
com a condição
. Ambos são equações de variáveis separáveis; vamos isolar
e
em lados opostos antes de integrar.
Passo 2
Para (a), escrevemos a equação como
. Separando variáveis, temos
Integramos ambos os lados: sabemos que
Isolando
, vem
Passo 3
Para (b), note que
Então fazemos a separação:
Integrando, usamos
e
. Juntando constantes,
Aplicando a função inversa
Resposta
As famílias de soluções gerais são: (a)
; (b)
, onde
e
são constantes arbitrárias.