Determine se a afirmação é falsa (F) ou verdadeira (V). Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
(n) ( ) Se a sequência
converge para zero, então
também converge para zero;
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Determine se a afirmação é falsa (F) ou verdadeira (V). Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
(o) ( ) Se
crescente e
convergente, então
converge;
(n) ( ) Se a sequência
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Determine se a afirmação é falsa (F) ou verdadeira (V). Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
(o) ( ) Se
Passo 1
O enunciado pede para determinar se duas afirmações sobre convergência de sequência são verdadeiras (V) ou falsas (F) e, em cada caso, justificar.
Passo 2
Para a afirmação (n): lembrando a definição, uma sequência
converge para zero se e somente se
. Mas
. Logo, se
, temos exatamente
, o que diz que
. Portanto a afirmação (n) é verdadeira.
Passo 3
Para a afirmação (o): pelo Teorema da Convergência Monótona, uma sequência crescente converge se e só se for limitada acima. Como
converge, ela é limitada; isto é, existe
tal que
para todo
. E, como
, temos também
, mostrando que
é limitada acima. Sendo crescente e limitada acima,
converge. Assim, (o) também é verdadeira.
Resposta
(n) V; (o) V