Determine se a afirmação é falsa (F) ou verdadeira (V). Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
(n) ( ) Se a sequência |an| converge para zero, então an também converge para zero;
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Determine se a afirmação é falsa (F) ou verdadeira (V). Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
(o) ( ) Se an <= bn, forall n,an crescente e bn convergente, então an converge;

Passo 1

O enunciado pede para determinar se duas afirmações sobre convergência de sequência são verdadeiras (V) ou falsas (F) e, em cada caso, justificar.

Passo 2

Para a afirmação (n): lembrando a definição, uma sequência an converge para zero se e somente se |an - 0|to0. Mas |an-0|=|an|. Logo, se |an|to0, temos exatamente |an-0|to0, o que diz que anto0. Portanto a afirmação (n) é verdadeira.

Passo 3

Para a afirmação (o): pelo Teorema da Convergência Monótona, uma sequência crescente converge se e só se for limitada acima. Como bn converge, ela é limitada; isto é, existe M>0 tal que bn<= M para todo n. E, como an<= bn, temos também an<= M, mostrando que an é limitada acima. Sendo crescente e limitada acima, an converge. Assim, (o) também é verdadeira.

Resposta

(n) V; (o) V

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