Determine se a afirmação é falsa (F) ou verdadeira (V). Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
(j) ( ) Toda sequência alternada é divergente;
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Determine se a afirmação é falsa (F) ou verdadeira (V). Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
(k) ( ) Toda sequência decrescente limitada é convergente e seu limite é zero;

Passo 1

O enunciado pede para verificar se duas afirmações sobre sequências são verdadeiras ou falsas, usando conceitos de convergência, divergência, monotonicidade e limites.

Passo 2

Para (j): uma sequência alternada é aquela cujos sinais dos termos mudam de positivo para negativo a cada termo. A afirmação «toda sequência alternada é divergente» é falsa, pois basta um contraexemplo convergente. Por exemplo, considere
an = (-1)^nn
Aqui a sequência é alternada e satisfaz
limn to infty an = 0,
logo converge e não diverge.

Passo 3

Para (k): pelo Teorema da Convergência Monótona, toda sequência monótona (aqui, decrescente) e limitada converge. Logo a parte sobre convergência é verdadeira, mas o limite não precisa ser zero em geral — será igual ao ínfimo da sequência. Um contraexemplo simples é
bn = 1 + 1n,
que é decrescente e limitada, e
limn to infty bn = 1 neq 0
Portanto a afirmação «seu limite é zero» também é falsa.

Resposta

(j) Falsa; (k) Falsa

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