Usando o código de método de Euler fornecido, resolva os problemas abaixo:
Seja o problema do escoamento do líquido no tanque cilíndrico vertical com um orifício em sua base (já mencionado em exercício anterior). Calcule o nível do líquido nos primeiros 10 minutos, dando passos de 30 segundos ( 1 / 2 minuto), ou seja, resolver o seguinte EDO:
\frac{d y}{d t}=-k \sqrt{y}
com k=0.06, y(0)=3.0 e h=0.5.
Lembre o nível do líquido é medido em metros e o tempo em minutos. Observe, mais uma vez, que para este problema:
(i) a variável independente é a variável t (que corresponde ao x nas expressões dos métodos já exibidos e também nas implementações).
(ii) a derivada conhecida, a y^{\prime}=f(t, y), é a expressão, f(t, y)= -0.06 \sqrt{y} e que, neste caso, a variável t não aparece explicitamente na função f
(Obs: é possível rodar o código do método Euler no VSCode, com o arquivo Euler.py ou rodar o notebook no Colab, com o arquivo Euler.ipynb )

Passo 1

O enunciado pede a solução aproximada da EDO
\frac{dy}{dt} = -k\sqrt{y}
com k=0,06, condição inicial y(0)=3,0 e passo de integração h=0,5 (minutos). A variável independente é t (em minutos) e a dependente é y (nível em metros).

Passo 2

Pelo método de Euler explícito temos
y_{n+1} = y_n + h\,f(t_n,y_n),
onde f(t,y)=-0,06\sqrt{y}. Como h=0,5 e k=0,06, o produto vale
h\,k = 0,5 \times 0,06 = 0,03,
logo a fórmula iterativa fica
y_{n+1} = y_n - 0,03\,\sqrt{y_n}.

Passo 3

Para ver como aplicamos essa fórmula, calculamos as primeiras três iterações:
y_1 = 3,0000 - 0,03\sqrt{3,0000} = 3,0000 - 0,03\times1,7321 \approx 2,9480,
y_2 = 2,9480 - 0,03\sqrt{2,9480} \approx 2,8966,
y_3 = 2,8966 - 0,03\sqrt{2,8966} \approx 2,8455.

Passo 4

Repetindo até t=10 min n=20, organizamos todos os resultados numa tabela de t_n versus y_n:
t_n (min) y_n (m)
0,03,00000,52,94801,02,89661,52,84552,02,79492,52,74473,02,69503,52,64584,02,59704,52,54875,02,50085,52,45336,02,40636,52,35987,02,31377,52,26818,02,22298,52,17829,02,13399,52,090110,02,0467

Resposta

Os níveis aproximados do líquido, a cada 0,5 min e até 10 min, são dados na tabela acima.

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