Usando o código de método de Euler fornecido, resolva os problemas abaixo:
Dado o PVI abaixo
\left\{\begin{array}{l} y^{\prime}=-y(\operatorname{sen} x) \\\ y(0.0)=-1.0 \end{array}\right.
Obtenha a solução em I=[0.0,1.0] subdividindo o intervalo em 10 partes.
(Obs: é possível rodar o código do método Euler no VSCode, com o arquivo Euler.py ou rodar o notebook no Colab, com o arquivo Euler.ipynb )

Passo 1

O problema dá o PVI
\begin{cases} y' = -\,y\;\sin x,\\\ y(0)= -1, \end{cases}
em I=[0,1] e pede a solução aproximada pelo método de Euler usando 10 subdivisões igualmente espaçadas.

Passo 2

No método de Euler temos o passo
h = \frac{1 - 0}{10} = 0{,}1
e a iteração
y_{i+1} = y_i + h\,f(x_i,y_i) \quad\text{com}\quad f(x,y) = -\,y\,\sin x, \quad x_i = 0 + i\,h.

Passo 3

Aplicando a fórmula iterativamente de i=0 até i=9, obtemos os pares (x_i,y_i):
  • x_0 = 0{,}0,\;y_0 = -1{,}000000
  • x_1 = 0{,}1,\;y_1 = -1{,}000000
  • x_2 = 0{,}2,\;y_2 = -0{,}990017
  • x_3 = 0{,}3,\;y_3 = -0{,}970348
  • x_4 = 0{,}4,\;y_4 = -0{,}941680
  • x_5 = 0{,}5,\;y_5 = -0{,}905009
  • x_6 = 0{,}6,\;y_6 = -0{,}861613
  • x_7 = 0{,}7,\;y_7 = -0{,}812914
  • x_8 = 0{,}8,\;y_8 = -0{,}760518
  • x_9 = 0{,}9,\;y_9 = -0{,}705950
  • x_{10} = 1{,}0,\;y_{10} = -0{,}650641

Resposta

Os valores aproximados pelo método de Euler em 10 subdivisões são:
\begin{aligned} &(x_0,y_0)=(0{,}0,\,-1{,}000000),\; (x_1,y_1)=(0{,}1,\,-1{,}000000),\; (x_2,y_2)=(0{,}2,\,-0{,}990017),\\\ &(x_3,y_3)=(0{,}3,\,-0{,}970348),\; (x_4,y_4)=(0{,}4,\,-0{,}941680),\; (x_5,y_5)=(0{,}5,\,-0{,}905009),\\\ &(x_6,y_6)=(0{,}6,\,-0{,}861613),\; (x_7,y_7)=(0{,}7,\,-0{,}812914),\; (x_8,y_8)=(0{,}8,\,-0{,}760518),\\\ &(x_9,y_9)=(0{,}9,\,-0{,}705950),\; (x_{10},y_{10})=(1{,}0,\,-0{,}650641). \end{aligned}

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