Dado o PVI:
(a) Encontre uma aproximação para
usando o método de Euler Aperfeiçoado com
0,25 .
(b) Compare seus resultados com a solução exata:
.
(b) Compare seus resultados com a solução exata:
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial (PVI)
e pede duas coisas:
(a) Encontrar uma aproximação para usando o método de Euler Aperfeiçoado com passo
.
(b) Comparar esse resultado com a solução exata, fornecida pelo enunciado como .
(a) Encontrar uma aproximação para
(b) Comparar esse resultado com a solução exata, fornecida pelo enunciado como
Informações relevantes que temos:
- A derivada é
(observe que não depende de ). - Condição inicial:
, . - Passo:
. - Queremos o valor em
, ou seja, dar dois passos: .
Passo 2
Explico agora o método de Euler Aperfeiçoado (também chamado de método de Heun ou método do trapézio explícito), passo a passo e com significado das fórmulas, para você aplicar na prova.
Regra geral: para a EDO
com ponto
e passo
, o Euler Aperfeiçoado faz:
- Previsão (Euler explícito):
Aqui
é uma “predição” do valor de
em
.
- Correção (média das inclinações):
Interpretação prática: aproximamos a integral
pela regra do trapézio sobre
. Por isso o método usa a média das inclinações em
e em
(avaliada na previsão).
O que cada símbolo significa:
-
: posição atual no eixo . -
: aproximação atual de . -
: tamanho do passo (a distância entre e ). -
: a função que dá a derivada . -
: valor previsto por um passo de Euler simples. -
: valor corrigido (aproximação em ).
Dica para a prova: escreva sempre as duas fórmulas e calcule em ordem — previsão (rápida) e depois correção (média). Se
não depender de
, as contas ficam ainda mais simples porque
é só
.
Passo 3
Aplicando ao nosso PVI — primeiro passo
para
.
Primeiro calcule a inclinação inicial:
Previsão por Euler:
Calcule:
Agora calcule a inclinação no ponto
:
(Observação: aqui
não depende de
, então é
independente de
.)
Correção pelo Euler Aperfeiçoado:
Calcule passo a passo:
Portanto
Passo 4
Segundo passo: de
para
.
Já sabemos:
Previsão por Euler:
Calcule:
Agora a inclinação em
:
Correção final:
Calcule:
Logo
Portanto a aproximação obtida pelo método de Euler Aperfeiçoado para
é
.
Passo 5
Agora compare com a solução exata dada no enunciado:
Avalie em
:
Conclusão e interpretação: a aproximação pelo Euler Aperfeiçoado deu exatamente
, que coincide com o valor exato
. Explicação rápida do porquê: como
depende só de
e é uma função linear em
, a integral
é exatamente calculada pela regra do trapézio — e o Euler Aperfeiçoado usa precisamente a regra do trapézio para aproximar essa integral. Por isso, neste caso particular, o método produz o valor exato.
Resposta
(a)
(b)
(b)