Dado o PVI:
\begin{aligned} & y^{\prime}=4-2 x \\\ & y(0)=2 \end{aligned}
(a) Encontre uma aproximação para y(0,5) usando o método de Euler Aperfeiçoado com h= 0,25 .
(b) Compare seus resultados com a solução exata: y(x)=-x^{2}+4 x+2.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial (PVI)
\begin{aligned} & y' = 4 - 2x,\\\ & y(0)=2, \end{aligned}
e pede duas coisas:
(a) Encontrar uma aproximação para y(0,5) usando o método de Euler Aperfeiçoado com passo h=0,25.
(b) Comparar esse resultado com a solução exata, fornecida pelo enunciado como y(x)=-x^{2}+4x+2.
Informações relevantes que temos:
  • A derivada é \;f(x,y)=4-2x (observe que não depende de y).
  • Condição inicial: x_{0}=0, y_{0}=2.
  • Passo: h=0,25.
  • Queremos o valor em x=0,5, ou seja, dar dois passos: 0\to0,25\to0,5.

Passo 2

Explico agora o método de Euler Aperfeiçoado (também chamado de método de Heun ou método do trapézio explícito), passo a passo e com significado das fórmulas, para você aplicar na prova.
Regra geral: para a EDO \;y'=f(x,y) com ponto (x_n,y_n) e passo h, o Euler Aperfeiçoado faz:
  1. Previsão (Euler explícito):
y^{\ast}=y_{n}+h\,f(x_{n},y_{n}).
Aqui y^{\ast} é uma “predição” do valor de y em x_{n+1}=x_{n}+h.
  1. Correção (média das inclinações):
y_{n+1}=y_{n}+\frac{h}{2}\bigl(f(x_{n},y_{n})+f(x_{n+1},y^{\ast})\bigr).
Interpretação prática: aproximamos a integral
y(x_{n+1})=y(x_{n})+\int_{x_{n}}^{x_{n+1}} f(s,y(s))\,ds
pela regra do trapézio sobre f. Por isso o método usa a média das inclinações em x_n e em x_{n+1} (avaliada na previsão).
O que cada símbolo significa:
  • x_n : posição atual no eixo x.
  • y_n : aproximação atual de y(x_n).
  • h : tamanho do passo (a distância entre x_n e x_{n+1}).
  • f(x,y) : a função que dá a derivada y'.
  • y^{\ast} : valor previsto por um passo de Euler simples.
  • y_{n+1} : valor corrigido (aproximação em x_{n+1}).
Dica para a prova: escreva sempre as duas fórmulas e calcule em ordem — previsão (rápida) e depois correção (média). Se f não depender de y, as contas ficam ainda mais simples porque f(x_{n+1},y^{\ast}) é só f(x_{n+1}).

Passo 3

Aplicando ao nosso PVI — primeiro passo x_{0}=0 para x_{1}=0+0,25=0,25.
Primeiro calcule a inclinação inicial:
f(x_{0},y_{0})=f(0,2)=4-2\cdot 0=4.
Previsão por Euler:
y^{\ast}_{1}=y_{0}+h\,f(0,2)=2+0,25\cdot 4.
Calcule:
0,25\cdot 4=1,\quad\text{logo}\quad y^{\ast}_{1}=2+1=3.
Agora calcule a inclinação no ponto x_{1}=0,25:
f(x_{1},\cdot)=f(0,25,\cdot)=4-2\cdot 0,25=4-0,5=3,5.
(Observação: aqui f não depende de y, então é 3,5 independente de y^{\ast}_{1}.)
Correção pelo Euler Aperfeiçoado:
y_{1}=y_{0}+\frac{h}{2}\bigl(f(0,2)+f(0,25,\cdot)\bigr) =2+\frac{0,25}{2}\bigl(4+3,5\bigr).
Calcule passo a passo:
\frac{0,25}{2}=0,125,\quad 4+3,5=7,5,\quad 0,125\cdot 7,5=0,9375.
Portanto
y_{1}=2+0,9375=2,9375.

Passo 4

Segundo passo: de x_{1}=0,25 para x_{2}=0,5.
Já sabemos:
y_{1}=2,9375,\quad f(0,25,\cdot)=3,5.
Previsão por Euler:
y^{\ast}_{2}=y_{1}+h\,f(0,25,\cdot)=2,9375+0,25\cdot 3,5.
Calcule:
0,25\cdot 3,5=0,875,\quad \text{logo}\quad y^{\ast}_{2}=2,9375+0,875=3,8125.
Agora a inclinação em x_{2}=0,5:
f(0,5,\cdot)=4-2\cdot 0,5=4-1=3.
Correção final:
y_{2}=y_{1}+\frac{h}{2}\bigl(f(0,25,\cdot)+f(0,5,\cdot)\bigr) =2,9375+\tfrac{0,25}{2}(3,5+3).
Calcule:
3,5+3=6,5,\quad \tfrac{0,25}{2}=0,125,\quad 0,125\cdot 6,5=0,8125.
Logo
y_{2}=2,9375+0,8125=3,75.
Portanto a aproximação obtida pelo método de Euler Aperfeiçoado para y(0,5) é y_{2}=3,75.

Passo 5

Agora compare com a solução exata dada no enunciado:
y(x)=-x^{2}+4x+2.
Avalie em x=0,5:
y(0,5)=-(0,5)^{2}+4\cdot 0,5+2= -0,25+2+2=3,75.
Conclusão e interpretação: a aproximação pelo Euler Aperfeiçoado deu exatamente 3,75, que coincide com o valor exato 3,75. Explicação rápida do porquê: como f(x,y)=4-2x depende só de x e é uma função linear em x, a integral \int_{x_n}^{x_{n+1}} f(s)\,ds é exatamente calculada pela regra do trapézio — e o Euler Aperfeiçoado usa precisamente a regra do trapézio para aproximar essa integral. Por isso, neste caso particular, o método produz o valor exato.

Resposta

(a) y(0,5)\approx 3,75
(b) y(0,5)_{\text{exata}}=3,75

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