Determine (a) o rotacional e (b) o divergente:
7- F(x, y, z)=\left\langle e^{\wedge} x \operatorname{sen} y, e^{\wedge} z \operatorname{sen} z, e^{\wedge} z \operatorname{sen} x\right\rangle
7- F(x, y, z)=\left\langle e^{\wedge} x \operatorname{sen} y, e^{\wedge} z \operatorname{sen} z, e^{\wedge} z \operatorname{sen} x\right\rangle
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para o campo vetorial
: (a) o rotacional (curl) de
e (b) o divergente (divergence) de
. As informações dadas são os componentes de
. Vou trabalhar com os componentes exatamente como escritos no enunciado:
Passo 2
Antes de calcular, precisamos lembrar as definições que vamos usar (explicadinhas e sem pular etapas).
A operador nabla (
) em coordenadas cartesianas é
Para um campo
:
- O rotacional (curl) é definido por
Aqui cada componente é a diferença entre duas derivadas parciais — por isso vamos calcular essas derivadas uma a uma.
- O divergente (div) é definido por
Também lembrando regras básicas de derivação que usaremos:
- Se uma função não depende de uma variável, a derivada parcial em relação a essa variável é zero.
- Derivada de
em relação à variável que aparece em é vezes a derivada de . - Derivada de
é . - Se uma função é produto de duas que dependem da mesma variável, usamos a regra do produto:
.
Passo 3
Identifico explicitamente as funções
que compõem
:
Vou calcular as derivadas parciais necessárias usando essas expressões.
Passo 4
Calculemos as derivadas necessárias para a primeira componente do rotacional:
-
. Como não contém (nem em nem em ), então
-
. Aqui depende de em duas partes, então usamos produto:
Derivando:
e
. Assim
Passo 5
Agora a primeira componente do rotacional é
Passo 6
Derivadas para a segunda componente do rotacional:
-
. não depende de , logo
-
. depende de apenas via , então
Passo 7
A segunda componente do rotacional é
Passo 8
Derivadas para a terceira componente do rotacional:
-
. não depende de , então
-
. depende de via , então
Passo 9
A terceira componente do rotacional é
Passo 10
Reunindo as três componentes, o rotacional é
Passo 11
Agora o divergente. Precisamos de
,
e
.
-
. Para , derivando em (mantendo fixo):
porque
é constante em relação a
e
.
-
. não depende de , então
-
. Para , derivando em (com fixo):
pois
é constante em relação a
e
.
Passo 12
Somando as três derivadas para obter o divergente:
Passo 13
Resumo final: já calculamos passo a passo cada derivada parcial necessária, aplicando produto quando preciso e usando que derivada parcial é zero quando a variável não aparece. Tá tudo conferido.
Resposta
(a)
(b)