Determine (a) o rotacional e (b) o divergente:
7- F(x, y, z)=\left\langle e^{\wedge} x \operatorname{sen} y, e^{\wedge} z \operatorname{sen} z, e^{\wedge} z \operatorname{sen} x\right\rangle

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para o campo vetorial F(x,y,z): (a) o rotacional (curl) de F e (b) o divergente (divergence) de F. As informações dadas são os componentes de F. Vou trabalhar com os componentes exatamente como escritos no enunciado:
F(x,y,z)=\left\langle e^{x}\sin y,\; e^{z}\sin z,\; e^{z}\sin x\right\rangle.

Passo 2

Antes de calcular, precisamos lembrar as definições que vamos usar (explicadinhas e sem pular etapas).
A operador nabla ( \nabla) em coordenadas cartesianas é
\nabla = \left\langle \frac{\partial}{\partial x},\; \frac{\partial}{\partial y},\; \frac{\partial}{\partial z}\right\rangle.
Para um campo F=\langle P,Q,R\rangle:
  • O rotacional (curl) é definido por
\nabla\times F = \left\langle \frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},\; \frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},\; \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} \right\rangle.
Aqui cada componente é a diferença entre duas derivadas parciais — por isso vamos calcular essas derivadas uma a uma.
  • O divergente (div) é definido por
\nabla\cdot F = \frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}.
Também lembrando regras básicas de derivação que usaremos:
  • Se uma função não depende de uma variável, a derivada parcial em relação a essa variável é zero.
  • Derivada de e^{u} em relação à variável que aparece em u é e^{u} vezes a derivada de u.
  • Derivada de \sin t é \cos t.
  • Se uma função é produto de duas que dependem da mesma variável, usamos a regra do produto: (fg)'=f'g+fg'.

Passo 3

Identifico explicitamente as funções P,Q,R que compõem F:
P(x,y,z)=e^{x}\sin y,\qquad Q(x,y,z)=e^{z}\sin z,\qquad R(x,y,z)=e^{z}\sin x.
Vou calcular as derivadas parciais necessárias usando essas expressões.

Passo 4

Calculemos as derivadas necessárias para a primeira componente do rotacional:
  • \displaystyle \frac{\partial R}{\partial y}. Como R=e^{z}\sin x não contém y (nem em e^{z} nem em \sin x), então
\frac{\partial R}{\partial y}=0.
  • \displaystyle \frac{\partial Q}{\partial z}. Aqui Q=e^{z}\sin z depende de z em duas partes, então usamos produto:
\frac{\partial Q}{\partial z}=\frac{d}{dz}\big(e^{z}\big)\sin z + e^{z}\frac{d}{dz}\big(\sin z\big).
Derivando: \frac{d}{dz}e^{z}=e^{z} e \frac{d}{dz}\sin z=\cos z. Assim
\frac{\partial Q}{\partial z}=e^{z}\sin z + e^{z}\cos z = e^{z}(\sin z+\cos z).

Passo 5

Agora a primeira componente do rotacional é
\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}=0 - e^{z}(\sin z+\cos z) = -\,e^{z}(\sin z+\cos z).

Passo 6

Derivadas para a segunda componente do rotacional:
  • \displaystyle \frac{\partial P}{\partial z}. P=e^{x}\sin y não depende de z, logo
\frac{\partial P}{\partial z}=0.
  • \displaystyle \frac{\partial R}{\partial x}. R=e^{z}\sin x depende de x apenas via \sin x, então
\frac{\partial R}{\partial x}=e^{z}\frac{d}{dx}(\sin x)=e^{z}\cos x.

Passo 7

A segunda componente do rotacional é
\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}=0 - e^{z}\cos x = -\,e^{z}\cos x.

Passo 8

Derivadas para a terceira componente do rotacional:
  • \displaystyle \frac{\partial Q}{\partial x}. Q=e^{z}\sin z não depende de x, então
\frac{\partial Q}{\partial x}=0.
  • \displaystyle \frac{\partial P}{\partial y}. P=e^{x}\sin y depende de y via \sin y, então
\frac{\partial P}{\partial y}=e^{x}\frac{d}{dy}(\sin y)=e^{x}\cos y.

Passo 9

A terceira componente do rotacional é
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=0 - e^{x}\cos y = -\,e^{x}\cos y.

Passo 10

Reunindo as três componentes, o rotacional é
\nabla\times F = \left\langle -\,e^{z}\big(\sin z+\cos z\big),\; -\,e^{z}\cos x,\; -\,e^{x}\cos y \right\rangle.

Passo 11

Agora o divergente. Precisamos de \frac{\partial P}{\partial x}, \frac{\partial Q}{\partial y} e \frac{\partial R}{\partial z}.
  • \displaystyle \frac{\partial P}{\partial x}. Para P=e^{x}\sin y, derivando em x (mantendo y fixo):
\frac{\partial P}{\partial x}=e^{x}\sin y
porque \sin y é constante em relação a x e \frac{d}{dx}e^{x}=e^{x}.
  • \displaystyle \frac{\partial Q}{\partial y}. Q=e^{z}\sin z não depende de y, então
\frac{\partial Q}{\partial y}=0.
  • \displaystyle \frac{\partial R}{\partial z}. Para R=e^{z}\sin x, derivando em z (com x fixo):
\frac{\partial R}{\partial z}=e^{z}\sin x,
pois \sin x é constante em relação a z e \frac{d}{dz}e^{z}=e^{z}.

Passo 12

Somando as três derivadas para obter o divergente:
\nabla\cdot F = e^{x}\sin y + 0 + e^{z}\sin x = e^{x}\sin y + e^{z}\sin x.

Passo 13

Resumo final: já calculamos passo a passo cada derivada parcial necessária, aplicando produto quando preciso e usando que derivada parcial é zero quando a variável não aparece. Tá tudo conferido.

Resposta

(a) \displaystyle \nabla\times F=\left\langle -\,e^{z}\big(\sin z+\cos z\big),\;-\,e^{z}\cos x,\;-\,e^{x}\cos y\right\rangle
(b) \displaystyle \nabla\cdot F=e^{x}\sin y+e^{z}\sin x

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