Determine (a) o rotacional e (b) o divergente:
6- F(x, y, z)=e^{\wedge} y \operatorname{sen} z j+y \arctan (z / x) k
6- F(x, y, z)=e^{\wedge} y \operatorname{sen} z j+y \arctan (z / x) k
Passo 1
O enunciado nos dá o campo vetorial
As perguntas são:
(a) calcular o rotacional de , ou seja
;
(b) calcular o divergente de , ou seja
.
(a) calcular o rotacional de
(b) calcular o divergente de
Informações relevantes que vamos usar: os componentes do campo são
Passo 2
Relembrando a fórmula do rotacional em coordenadas cartesianas (sem justificar ainda a origem da fórmula): para um campo
,
Vou aplicar essa fórmula componente a componente. Antes, explico rapidamente como calcular cada derivada parcial que aparece (regras usadas: derivada de produto e regra da cadeia).
Passo 3
Calculemos as derivadas parciais necessárias para a primeira componente do rotacional:
Primeiro,
A função
não depende de
, portanto, ao derivar em relação a
usamos a regra do produto:
Agora
Aqui
e
são tratados como constantes quando derivamos em relação a
ou
conforme o caso. Ao derivar em relação a
usamos que
, então
Passo 4
Montamos a primeira componente do rotacional (
-componente):
Expliquei: a derivada de
por
é simplesmente a função
, e a derivada de
por
é
.
Passo 5
Agora a segunda componente do rotacional (
-componente):
Temos
. Resta calcular
com
Aqui usamos a regra da cadeia para
:
. Tomando
obtemos
Como
é tratado como constante na derivada em relação a
, temos
. Portanto
Multiplicando por
,
Assim
Passo 6
Terceira componente do rotacional (
-componente):
Temos
. Agora calcule
com
. Ao derivar em relação a
,
é constante, e
. Logo
Portanto
Passo 7
Juntando as três componentes obtemos o rotacional completo:
Antes de seguir para o divergente, um breve resumo das regras que usei:
- Derivada parcial: diferenciamos em relação a uma variável mantendo as outras fixas.
- Regra do produto:
. - Regra da cadeia:
.
Passo 8
Agora calculamos o divergente, cuja fórmula é
Já sabemos
. Calculemos as outras duas parcelas.
Passo 9
Calcule
com
. Aqui
é constante em relação a
, então
Calcule
com
. Usamos a regra da cadeia novamente:
Simplificando,
Multiplicando por
,
Passo 10
Somando as parcelas do divergente:
Portanto o divergente é
Resposta
(a)
\n
(b)
(b)