Determine (a) o rotacional e (b) o divergente:
6- F(x, y, z)=e^{\wedge} y \operatorname{sen} z j+y \arctan (z / x) k

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial
\mathbf{F}(x,y,z)=0\,\mathbf{i}+e^{x}y\sin z\,\mathbf{j}+y\arctan\!\left(\frac{z}{x}\right)\mathbf{k}.
As perguntas são:
(a) calcular o rotacional de \mathbf{F}, ou seja \nabla\times\mathbf{F};
(b) calcular o divergente de \mathbf{F}, ou seja \nabla\cdot\mathbf{F}.
Informações relevantes que vamos usar: os componentes do campo são
F_x=0,\qquad F_y=e^{x}y\sin z,\qquad F_z=y\arctan\!\left(\frac{z}{x}\right).

Passo 2

Relembrando a fórmula do rotacional em coordenadas cartesianas (sem justificar ainda a origem da fórmula): para um campo \mathbf{F}=(F_x,F_y,F_z),
\nabla\times\mathbf{F}=\left(\frac{\partial F_z}{\partial y}-\frac{\partial F_y}{\partial z}\right)\mathbf{i} +\left(\frac{\partial F_x}{\partial z}-\frac{\partial F_z}{\partial x}\right)\mathbf{j} +\left(\frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y}\right)\mathbf{k}.
Vou aplicar essa fórmula componente a componente. Antes, explico rapidamente como calcular cada derivada parcial que aparece (regras usadas: derivada de produto e regra da cadeia).

Passo 3

Calculemos as derivadas parciais necessárias para a primeira componente do rotacional:
\frac{\partial F_z}{\partial y} \quad\text{e}\quad \frac{\partial F_y}{\partial z}.
Primeiro,
F_z=y\arctan\!\left(\frac{z}{x}\right).
A função \arctan\!\left(\frac{z}{x}\right) não depende de y, portanto, ao derivar em relação a y usamos a regra do produto:
\frac{\partial F_z}{\partial y} =\arctan\!\left(\frac{z}{x}\right).
Agora
F_y=e^{x}y\sin z.
Aqui e^{x} e \sin z são tratados como constantes quando derivamos em relação a z ou x conforme o caso. Ao derivar em relação a z usamos que \frac{d}{dz}\sin z=\cos z, então
\frac{\partial F_y}{\partial z}=e^{x}y\cos z.

Passo 4

Montamos a primeira componente do rotacional ( \mathbf{i}-componente):
(\nabla\times\mathbf{F})_x =\frac{\partial F_z}{\partial y}-\frac{\partial F_y}{\partial z} =\arctan\!\left(\frac{z}{x}\right)-e^{x}y\cos z.
Expliquei: a derivada de y\arctan(z/x) por y é simplesmente a função \arctan(z/x), e a derivada de e^{x}y\sin z por z é e^{x}y\cos z.

Passo 5

Agora a segunda componente do rotacional ( \mathbf{j}-componente):
(\nabla\times\mathbf{F})_y =\frac{\partial F_x}{\partial z}-\frac{\partial F_z}{\partial x}.
Temos \frac{\partial F_x}{\partial z}=\frac{\partial 0}{\partial z}=0. Resta calcular \frac{\partial F_z}{\partial x} com
F_z=y\arctan\!\left(\frac{z}{x}\right).
Aqui usamos a regra da cadeia para \arctan(u): \frac{d}{du}\arctan(u)=\dfrac{1}{1+u^{2}}. Tomando u=\dfrac{z}{x} obtemos
\frac{\partial}{\partial x}\arctan\!\left(\frac{z}{x}\right) =\frac{1}{1+\left(\frac{z}{x}\right)^{2}}\cdot\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{z}{x}\right).
Como z é tratado como constante na derivada em relação a x, temos \dfrac{\partial}{\partial x}\left(\dfrac{z}{x}\right)=-\dfrac{z}{x^{2}}. Portanto
\frac{\partial}{\partial x}\arctan\!\left(\frac{z}{x}\right) =-\frac{z}{x^{2}}\cdot\frac{1}{1+\dfrac{z^{2}}{x^{2}}} =-\frac{z}{x^{2}}\cdot\frac{x^{2}}{x^{2}+z^{2}} =-\frac{z}{x^{2}+z^{2}}.
Multiplicando por y,
\frac{\partial F_z}{\partial x}=y\left(-\frac{z}{x^{2}+z^{2}}\right)=-\frac{yz}{x^{2}+z^{2}}.
Assim
(\nabla\times\mathbf{F})_y =0-\left(-\frac{yz}{x^{2}+z^{2}}\right) =\frac{yz}{x^{2}+z^{2}}.

Passo 6

Terceira componente do rotacional ( \mathbf{k}-componente):
(\nabla\times\mathbf{F})_z =\frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y}.
Temos \frac{\partial F_x}{\partial y}=\frac{\partial 0}{\partial y}=0. Agora calcule \frac{\partial F_y}{\partial x} com F_y=e^{x}y\sin z. Ao derivar em relação a x, y\sin z é constante, e \frac{d}{dx}e^{x}=e^{x}. Logo
\frac{\partial F_y}{\partial x}=e^{x}y\sin z.
Portanto
(\nabla\times\mathbf{F})_z=e^{x}y\sin z.

Passo 7

Juntando as três componentes obtemos o rotacional completo:
\nabla\times\mathbf{F}= \left(\arctan\!\left(\frac{z}{x}\right)-e^{x}y\cos z\right)\mathbf{i} +\frac{yz}{x^{2}+z^{2}}\mathbf{j} +e^{x}y\sin z\,\mathbf{k}.
Antes de seguir para o divergente, um breve resumo das regras que usei:
  • Derivada parcial: diferenciamos em relação a uma variável mantendo as outras fixas.
  • Regra do produto: \partial (uv)/\partial x = (\partial u/\partial x)v+u(\partial v/\partial x).
  • Regra da cadeia: \dfrac{d}{dx}\arctan(u(x))=\dfrac{u'(x)}{1+u(x)^2}.

Passo 8

Agora calculamos o divergente, cuja fórmula é
\nabla\cdot\mathbf{F}=\frac{\partial F_x}{\partial x}+\frac{\partial F_y}{\partial y}+\frac{\partial F_z}{\partial z}.
Já sabemos \frac{\partial F_x}{\partial x}=0. Calculemos as outras duas parcelas.

Passo 9

Calcule \frac{\partial F_y}{\partial y} com F_y=e^{x}y\sin z. Aqui e^{x}\sin z é constante em relação a y, então
\frac{\partial F_y}{\partial y}=e^{x}\sin z.
Calcule \frac{\partial F_z}{\partial z} com F_z=y\arctan\!\left(\dfrac{z}{x}\right). Usamos a regra da cadeia novamente:
\frac{\partial}{\partial z}\arctan\!\left(\frac{z}{x}\right) =\frac{1}{1+\left(\frac{z}{x}\right)^{2}}\cdot\frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{z}{x}\right) =\frac{1}{1+\dfrac{z^{2}}{x^{2}}}\cdot\frac{1}{x}.
Simplificando,
\frac{1}{1+\dfrac{z^{2}}{x^{2}}}\cdot\frac{1}{x} =\frac{x^{2}}{x^{2}+z^{2}}\cdot\frac{1}{x} =\frac{x}{x^{2}+z^{2}}.
Multiplicando por y,
\frac{\partial F_z}{\partial z}=y\cdot\frac{x}{x^{2}+z^{2}}=\frac{xy}{x^{2}+z^{2}}.

Passo 10

Somando as parcelas do divergente:
\nabla\cdot\mathbf{F}=0+e^{x}\sin z+\frac{xy}{x^{2}+z^{2}}.
Portanto o divergente é
\nabla\cdot\mathbf{F}=e^{x}\sin z+\frac{xy}{x^{2}+z^{2}}.

Resposta

(a) \nabla\times\mathbf{F}=\left(\arctan\!\left(\dfrac{z}{x}\right)-e^{x}y\cos z\right)\mathbf{i}+\dfrac{yz}{x^{2}+z^{2}}\mathbf{j}+e^{x}y\sin z\,\mathbf{k}\n
(b) \nabla\cdot\mathbf{F}=e^{x}\sin z+\dfrac{xy}{x^{2}+z^{2}}

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