Resolva a equação diferencial não-homogênea pelo Método de Variação dos Parâmetros.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial não-homogênea de segunda ordem 3 y’’–6 y’+3 y = ex/x3 usando o método de variação dos parâmetros. Vamos precisar primeiro achar a solução da homogênea, depois usar duas soluções fundamentais, calcular o Wronskiano e aplicar as fórmulas de variação dos parâmetros.
Passo 2
Resolvendo a homogênea associada 3 y’’–6 y’+3 y=0, dividimos tudo por 3 e obtemos y’’–2 y’+y=0. A equação característica é r^2–2r+1=0, que tem raiz dupla r=1. Logo a solução homogênea é y_h = C_1 e^x + C_2 x e^x.
Passo 3
Definimos as duas soluções fundamentais da homogênea como y_1 = e^x e y_2 = x e^x, pois elas são linearmente independentes para r=1 dupla.
Passo 4
Calculamos o Wronskiano W = det
[ y_1 y_2 ; y_1’ y_2’ ] = det
[ e^x x e^x ; e^x (1+x)e^x ] . Fazendo o determinante, obtemos W = ex·(1+x)ex − e^x·x e^x = e^{2x}.
[ y_1 y_2 ; y_1’ y_2’ ] = det
[ e^x x e^x ; e^x (1+x)e^x ] . Fazendo o determinante, obtemos W = ex·(1+x)ex − e^x·x e^x = e^{2x}.
Passo 5
Para aplicar variação dos parâmetros, primeiro escrevemos a equação em forma padrão dividindo por 3: y’’–2y’+y = f(x) com f(x)=ex/(3x3). As fórmulas são
u_1’ = −y_2·f(x)/W e u_2’ = y_1·f(x)/W.
u_1’ = −y_2·f(x)/W e u_2’ = y_1·f(x)/W.
Passo 6
Substituindo y_1,y_2,f(x),W obtemos
u_1’ = −(x ex)·(ex/(3x^3)) / e^{2x} = −1/(3x^2),
u_2’ = (ex)·(ex/(3x^3)) / e^{2x} = 1/(3x^3).
Integrando, temos
u_1 = ∫−1/(3x^2) dx = 1/(3x),
nu_2 = ∫1/(3x^3) dx = −1/(6x^2).
u_1’ = −(x ex)·(ex/(3x^3)) / e^{2x} = −1/(3x^2),
u_2’ = (ex)·(ex/(3x^3)) / e^{2x} = 1/(3x^3).
Integrando, temos
u_1 = ∫−1/(3x^2) dx = 1/(3x),
nu_2 = ∫1/(3x^3) dx = −1/(6x^2).
Passo 7
A solução particular é y_p = ν_1 y_1 + ν_2 y_2 = (1/(3x))e^x + (−1/(6x^2))·(x e^x) = e^x/(6x).
Então a solução geral da equação original é
y(x) = y_h + y_p = C_1 e^x + C_2 x e^x + \frac{e^x}{6x}.
Então a solução geral da equação original é
y(x) = y_h + y_p = C_1 e^x + C_2 x e^x + \frac{e^x}{6x}.
Resposta
A solução geral é
.