Dado o PVI
sem resolvê-lo, determine um valor de l (2 t+5 y) y^prime=t-y^2 y(b)=1 tal que (pelo menos localmente) sua solução exista e seja única.

Passo 1

A gente tem o PVI dado por
(2 t+5 y) y′ = t − y² com condição y(b)=1. O conteúdo aqui é o Teorema de existência e unicidade de Picard–Lindelöf, e vamos precisar checar a continuidade de f(t,y) e ∂f/∂y num retângulo ao redor de (b,1).

Passo 2

Primeiro isolamos y′ para escrever f(t,y):
y = t - y^22t + 5y
Então definimos
f(t,y) = t - y^22t + 5y

Passo 3

O Teorema de Picard diz que se f e ∂f/∂y são contínuas num retângulo contendo o ponto inicial (b,1), então existe e é única localmente a solução do PVI.

Passo 4

Calculamos ∂f/∂y para verificar continuidade:
partial fpartial y = -2y(2t+5y) - 5(t - y^2)(2t + 5y)^2
Tanto f quanto ∂f/∂y só podem falhar de serem contínuas se o denominador 2t+5y for zero.

Passo 5

No ponto inicial (b,1) exigimos 2b + 5·1 ≠ 0, ou seja 2b + 5 ≠ 0. Logo qualquer b ≠ -5/2 serve. Por exemplo, podemos escolher b = 0.

Resposta

Uma escolha possível é b = 0.

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