Exercício 3. Calcule as seguintes derivadas parciais mistas:
para
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada parcial mista f_{y x} da função f(x,y)=x^{2}\sin y + e^{y}. O conteúdo envolve derivadas parciais e a definição de derivada mista, e vamos precisar aplicar a definição de derivada parcial em y primeiro e depois em x.
Passo 2
Primeiro calculamos f_{y}, ou seja, a derivada parcial de f em relação a y, tratando x como constante. Para x^{2}\sin y usamos a regra da derivada de seno e para e^{y} a derivada é e^{y}, então obtemos
Passo 3
Agora calculamos f_{y x}, que é a derivada parcial de f_{y} em relação a x, tratando y como constante. Em x^{2}\cos y a componente x^{2} gera 2x e \cos y é constante, já e^{y} é totalmente independente de x, logo