Exercício 3. Calcule as seguintes derivadas parciais mistas:
fy x para f(x, y)=x^2 extrmsen y+e^y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada parcial mista f_{y x} da função f(x,y)=x^{2}\sin y + e^{y}. O conteúdo envolve derivadas parciais e a definição de derivada mista, e vamos precisar aplicar a definição de derivada parcial em y primeiro e depois em x.

Passo 2

Primeiro calculamos f_{y}, ou seja, a derivada parcial de f em relação a y, tratando x como constante. Para x^{2}\sin y usamos a regra da derivada de seno e para e^{y} a derivada é e^{y}, então obtemos
fy(x,y)=x^2cos y + e^y

Passo 3

Agora calculamos f_{y x}, que é a derivada parcial de f_{y} em relação a x, tratando y como constante. Em x^{2}\cos y a componente x^{2} gera 2x e \cos y é constante, já e^{y} é totalmente independente de x, logo
fy x(x,y)=2xcos y

Resposta

2xcos y

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