Dado o PVI:
y^prime prime+y=e^2 t sen(t), y(0)=0, y^prime(0)=0
Verifique se a solução encontrada por você no item a) satisfaz o PVI.

Passo 1

O enunciado pede para confirmar que a solução que encontramos no item a) realmente satisfaz o PVI
Conteúdo: EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo forçante. Vamos precisar calcular y(0), y’(0), y’’(t) e verificar que y’’(t)+y(t)=e^{2t},\sin t.

Passo 2

A solução obtida no item a) foi
y(t)=14,l(e^2t-1r),sin t
Primeiro, verificamos as condições iniciais. Em t=0 temos
y(0)=14(1-1)sin0=0
e calculando a derivada
y'(t)=14l[2e^2tsin t+l(e^2t-1r)cos tr]
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y'(0)=14[2cdot1cdot0+(1-1)cdot1]=0
Então as condições y(0)=0 e y’(0)=0 estão satisfeitas.

Passo 3

Agora verificamos a EDO. A segunda derivada é
y''(t)=14l[4e^2tsin t+4e^2tcos t-sin tr]
Somando y’’(t)+y(t) obtemos
y''+y=14l[4e^2tsin t+4e^2tcos t-sin tr]+14(e^2t-1)sin t
Agrupando termos de e^{2t},\sin t e de e^{2t},\cos t e de \sin t, nota-se que todos os demais cancelam, restando
y''+y=e^2tsin t
que coincide com o termo forçante.

Passo 4

Concluímos que a solução encontrada satisfaz tanto as condições iniciais quanto a equação diferencial dada.

Resposta

A solução y(t)=\tfrac14(e^{2t}-1)\sin t satisfaz o PVI, pois y(0)=0, y’(0)=0 e y’’+y=e^{2t}\sin t.

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