Dado o PVI:
Verifique se a solução encontrada por você no item a) satisfaz o PVI.
Passo 1
O enunciado pede para confirmar que a solução que encontramos no item a) realmente satisfaz o PVI
Conteúdo: EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo forçante. Vamos precisar calcular y(0), y’(0), y’’(t) e verificar que y’’(t)+y(t)=e^{2t},\sin t.
Conteúdo: EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo forçante. Vamos precisar calcular y(0), y’(0), y’’(t) e verificar que y’’(t)+y(t)=e^{2t},\sin t.
Passo 2
A solução obtida no item a) foi
Primeiro, verificamos as condições iniciais. Em t=0 temos
e calculando a derivada
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Então as condições y(0)=0 e y’(0)=0 estão satisfeitas.
Passo 3
Agora verificamos a EDO. A segunda derivada é
Somando y’’(t)+y(t) obtemos
Agrupando termos de e^{2t},\sin t e de e^{2t},\cos t e de \sin t, nota-se que todos os demais cancelam, restando
que coincide com o termo forçante.
Passo 4
Concluímos que a solução encontrada satisfaz tanto as condições iniciais quanto a equação diferencial dada.
Resposta
A solução y(t)=\tfrac14(e^{2t}-1)\sin t satisfaz o PVI, pois y(0)=0, y’(0)=0 e y’’+y=e^{2t}\sin t.