Resolver as equações polinomiais p(x)=0; determine as raízes pelo método de Ruffini. Faça um gráfico aproximado da função polinomial y=p(x).
(6) p(x)=x^3-2 x^2-5 x+6.

Passo 1

Vamos resolver a equação polinomial p(x)=0 para p(x)=x^3-2x^2-5x+6, usando o método de Ruffini e, em seguida, esboçar o gráfico de y=p(x).

Passo 2

Para encontrar raízes racionais, listamos os divisores de termo independente ( 6): ±1, ±2, ±3, ±6. Testamos em p(x):
p(1)=1-2-5+6=0 , então x=1 é raiz.

Passo 3

Aplicamos divisão sintética (Ruffini) com o valor 1:
Coeficientes de p(x): 1, −2, −5, 6.
1 │  1   −2   −5    6
  │      1   −1   −6
  ------------------
    1   −1   −6    0
O resto é zero e o quociente é o polinômio x^2 - x -6.

Passo 4

Agora resolvemos x^2 - x -6 = 0. Calculamos o discriminante:
De
Logo
x = 1 pm raiz252 = 1 pm 52,
isto é, x = 3 ou x = -2.

Passo 5

Portanto, a fatoração completa é
p(x)=(x-1)(x-3)(x+2)
e as raízes são x=1,;3,;-2.

Passo 6

Para esboçar o gráfico de y=p(x):
  • Como o coeficiente líder é positivo, para xto-infty, yto-infty e para xto+infty, yto+infty.
  • Interceptos com o eixo x: em (-2,0), (1,0) e (3,0).
  • Intercepto com o eixo y: p(0)=6, ponto (0,6).
  • Um ponto extra: p(2)=8-8-10+6=-4, ponto (2,-4).
    Assim, o gráfico cruza o eixo x em -2,1,3, sobe até perto de (0,6), desce passando por (2,-4) e depois sobe indefinidamente.

Resposta

As raízes de p(x) são x=-2,;1,;3. O esboço de y=p(x) cruza o eixo x nesses pontos, atinge y=6 em x=0, tem um vale perto de (2,-4) e, como é um cúbico com coeficiente positivo, vai de -infty para +infty.

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