Resolver as equações polinomiais p(x)=0; determine as raízes pelo método de Ruffini. Faça um gráfico aproximado da função polinomial y=p(x).
(8) p(x)=x^4-x^3-3 x^2+x+2.

Passo 1

Estamos resolvendo a equação polinomial p(x)=x⁴−x³−3x²+x+2, usando o teorema do resto e a divisão de Ruffini para achar as raízes, e depois faremos um esboço do gráfico de y=p(x).

Passo 2

Pelo teorema do resto, testamos raízes r ∈ {±1,±2}. Calculando p(1)=1−1−3+1+2=0, concluímos que x=1 é raiz.

Passo 3

Aplicamos Ruffini com raiz x=1 nos coeficientes [1, −1, −3, 1, 2]:
1 │ 1 −1 −3 1 2
│ 1 0 −3 −2
└────────────────
1 0 −3 −2 0
O resto é zero e o quociente é x³−3x−2.

Passo 4

Agora fatoramos o cúbico q(x)=x³−3x−2. Testamos r=2: q(2)=8−6−2=0, logo x=2 é raiz.

Passo 5

Fazendo Ruffini em [1, 0, −3, −2] com 2:
2 │ 1 0 −3 −2
│ 2 4 2
└─────────────
1 2 1 0
O quociente é x²+2x+1.

Passo 6

O trinômio x²+2x+1 fatora como (x+1)². Assim, x=−1 é raiz dupla. Portanto,
p(x)=(x−1)(x−2)(x+1)² ²

Passo 7

O polinômio é de grau 4 com coeficiente líder positivo, então y→+∞ quando x→±∞. No eixo x, ele cruza em x=1 e x=2 e toca (raízes de multiplicidade 2) em x=−1, invertendo a concavidade ali. Isso dá um esboço aproximado do gráfico.

Resposta

As raízes são x=1, x=2 e x=−1 (multiplicidade 2). O polinômio fatorado é p(x)=(x−1)(x−2)(x+1)² e o gráfico cruza o eixo x em 1 e 2, toca em −1, com y→+∞ nas extremidades.

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