Dado o PVI:
Resolva o PVI utilizando transformada de Laplace.
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos o PVI
O conteúdo aqui é resolver ODE linear com forçamento via transformada de Laplace. Vamos precisar das propriedades de Laplace de derivadas, do deslocamento para exponenciais e da decomposição em frações parciais.
Passo 2
Aplico a transformada de Laplace nos dois lados. Como
e
, vale
No lado direito uso o deslocamento:
Logo obtemos
No lado direito uso o deslocamento:
Logo obtemos
e portanto
Passo 3
Faço agora a decomposição em frações parciais. Escrevo
Igualando numeradores e resolvendo o sistema de equações, acho
e
.
Passo 4
Reescrevo então
Isso separa em termos de
,
,
e
.
Passo 5
Aplico a transformada inversa a cada parcela: sei que
e
Substituindo os coeficientes obtemos
e
Substituindo os coeficientes obtemos
Passo 6
Reorganizo e fatoro
para deixar mais compacto: