Dado o PVI:
y^prime prime+y=e^2 t sen(t), y(0)=0, y^prime(0)=0
Resolva o PVI utilizando transformada de Laplace.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos o PVI
y'' + y = e^2tsin(t), y(0)=0, y'(0)=0
O conteúdo aqui é resolver ODE linear com forçamento via transformada de Laplace. Vamos precisar das propriedades de Laplace de derivadas, do deslocamento para exponenciais e da decomposição em frações parciais.

Passo 2

Aplico a transformada de Laplace nos dois lados. Como y(0)=0 e y'(0)=0, vale
(s^2 + 1)Y(s) = 1(s-2)^2 + 1
No lado direito uso o deslocamento:
Y(s) = 1(s^2 + 1)l((s-2)^2 + 1r)
Logo obtemos
e portanto

Passo 3

Faço agora a decomposição em frações parciais. Escrevo
1(s^2+1)((s-2)^2+1) = As+Bs^2+1 + C(s-2)+D(s-2)^2+1
Igualando numeradores e resolvendo o sistema de equações, acho
A = B = D = tfrac18 e C = -tfrac18.

Passo 4

Reescrevo então
Y(s) = tfrac18(s+1)s^2+1 + tfrac18(-,(s-2) +1)(s-2)^2+1
Isso separa em termos de s/(s^2+1), 1/(s^2+1), (s-2)/((s-2)^2+1) e 1/((s-2)^2+1).

Passo 5

Aplico a transformada inversa a cada parcela: sei que
y(t) = 18cos t + 18sin t - 18e^2tcos t + 18e^2tsin t
e

Substituindo os coeficientes obtemos

Passo 6

Reorganizo e fatoro 1/8 para deixar mais compacto:
y(t) = 18l(cos t + sin t + e^2t(sin t - cos t)r)

Resposta

y(t) = tfrac18l(cos t + sin t + e^2t(sin t - cos t)r)

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