Usando o método de redução de ordem, ache a solução geral de cada edo. Uma solução de edo homogênea é dada.
Passo 1
O enunciado dá a EDO não homogênea
e informa que uma solução da homogênea é
. Vamos usar redução de ordem para achar a segunda solução do homogêneo e depois variação de parâmetros para obter uma particular, montando a solução geral.
Passo 2
Primeiro colocamos a EDO em forma padrão dividindo por
. Assim temos
Aqui identificamos:
•
•
• termo forçante
.
Passo 3
Para achar a segunda solução do homogêneo usamos redução de ordem. Assumimos
Então
Como
satisfaz a homogênea, ao substituir apenas na parte homogênea sobra
ou
Definindo
, temos
Integrando,
Logo a segunda solução independente é
(o fator
pode ser absorvido nas constantes).
Passo 4
Agora buscamos uma solução particular
por variação de parâmetros. A fórmula geral para
é
onde
é o Wronskiano de
. Calculamos
na verdade dá , obtemos
Passo 5
Finalmente, a solução geral é
Resposta
y(x)=C_{1}x{2}+C_{2}x{-1}+\tfrac{2}{3}x{2}\ln|x|-\tfrac{2}{9}x{2}