Usando o método de redução de ordem, ache a solução geral de cada edo. Uma solução de edo homogênea é dada.
x^2 y^prime prime-2 y=2 x^2, y1=x^2

Passo 1

O enunciado dá a EDO não homogênea
x^2y''-2y=2x^2
e informa que uma solução da homogênea é y1=x^2. Vamos usar redução de ordem para achar a segunda solução do homogêneo e depois variação de parâmetros para obter uma particular, montando a solução geral.

Passo 2

Primeiro colocamos a EDO em forma padrão dividindo por x^2. Assim temos
y''-2x^2,y=2
Aqui identificamos:
p(x)=0
q(x)=-dfrac2x^2
• termo forçante r(x)=2.

Passo 3

Para achar a segunda solução do homogêneo usamos redução de ordem. Assumimos
y=v(x),y1=v(x)x^2
Então
y'=v' x^2+2v x,
y''=v'' x^2+4v' x+2v
Como y1 satisfaz a homogênea, ao substituir apenas na parte homogênea sobra
v''x^2+2(2x)v'=0
ou
v''+4xv'=0
Definindo w=v', temos
w'+4xw=0Longrightarrow w=Cx^-4
Integrando,
v=integral x^-4,dx=-13x^3
Logo a segunda solução independente é
y2=v,y1=-13x^3cdot x^2=-13x
(o fator -1/3 pode ser absorvido nas constantes).

Passo 4

Agora buscamos uma solução particular yp por variação de parâmetros. A fórmula geral para yp é
yp=-y1integraly2,rW,dx+y2integraly1,rW,dx,
onde W é o Wronskiano de y1,y2. Calculamos
W=y1y'2-y'1y2=x^2l(-x^-2r)-2xl(-x^-1r)=-1-(-2)=1,
na verdade dá , obtemos
-3), mas o sinal é irre<=vante pois fica em ambos os termos Substituindo (r=2

Passo 5

Finalmente, a solução geral é
y(x)=C1x^2+C2x^-1+23x^2ln|x|-29x^2

Resposta

y(x)=C_{1}x{2}+C_{2}x{-1}+\tfrac{2}{3}x{2}\ln|x|-\tfrac{2}{9}x{2}

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