Dado um quadrado de lado 2 , escolhem-se 5 pontos ao acaso nesse quadrado ou no seu interior. Mostre que pelo menos dois destes pontos estão a uma distância menor que ou igual a 2.

Passo 1

Resumindo: temos um quadrado de lado 2 e escolhemos 5 pontos em seu interior ou sobre suas arestas. Queremos provar que sempre existe um par de pontos cuja distância seja menor ou igual a 2. A estratégia usada será particionar o quadrado em regiões menores e aplicar o princípio da casa dos pombos.

Passo 2

Dividimos o quadrado de lado 2 em quatro quadrados congruentes de lado 1, traçando duas retas paralelas aos lados originais que cortam o quadrado ao meio.

Passo 3

Como temos 5 pontos e apenas 4 quadradinhos de lado 1, o princípio da casa dos pombos garante que pelo menos um desses quadrados menores contém pelo menos dois dos pontos escolhidos.

Passo 4

Em qualquer quadrado de lado 1, a maior distância possível entre dois pontos é a diagonal, cujo valor é
\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}.
Como \sqrt{2}<2, quaisquer dois pontos que caiam no mesmo quadrado menor estarão a uma distância at most \sqrt{2}, logo também \le2.

Resposta

Portanto, entre os 5 pontos escolhidos sempre existem dois cuja distância é menor ou igual a 2.

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