Dado um quadrado de lado 2 , escolhem-se 5 pontos ao acaso nesse quadrado ou no seu interior. Mostre que pelo menos dois destes pontos estão a uma distância menor que ou igual a 2.
Passo 1
Resumindo: temos um quadrado de lado
e escolhemos
pontos em seu interior ou sobre suas arestas. Queremos provar que sempre existe um par de pontos cuja distância seja menor ou igual a
. A estratégia usada será particionar o quadrado em regiões menores e aplicar o princípio da casa dos pombos.
Passo 2
Dividimos o quadrado de lado
em quatro quadrados congruentes de lado
, traçando duas retas paralelas aos lados originais que cortam o quadrado ao meio.
Passo 3
Como temos
pontos e apenas
quadradinhos de lado
, o princípio da casa dos pombos garante que pelo menos um desses quadrados menores contém pelo menos dois dos pontos escolhidos.
Passo 4
Em qualquer quadrado de lado
, a maior distância possível entre dois pontos é a diagonal, cujo valor é
Como
, quaisquer dois pontos que caiam no mesmo quadrado menor estarão a uma distância at most
, logo também
.
Resposta
Portanto, entre os
pontos escolhidos sempre existem dois cuja distância é menor ou igual a
.