Um paralelepípedo de dimensões 150 \times 324 \times 375 é feito de cubos unitários. Pelo interior de quantos cubos unitários a diagonal do paralelepípedo passa?

Passo 1

O enunciado dá um paralelepípedo com dimensões 150\times324\times375 unidades, formado por cubos unitários, e pede em quantos desses cubos a diagonal principal passa pelo interior. O conteúdo é geometria combinatória em grade tridimensional.

Passo 2

Para um paralelepípedo de arestas a,b,c\in\mathbb{Z}, o número de cubos unitários atravessados pela diagonal é dado pela fórmula
N = a + b + c \;-\;\gcd(a,b)\;-\;\gcd(b,c)\;-\;\gcd(c,a)\;+\;\gcd(a,b,c).
Essa fórmula generaliza o resultado em duas dimensões a+b-\gcd(a,b).

Passo 3

Calculamos os máximos divisores comuns:
\gcd(150,324)=6,\quad \gcd(324,375)=3,\quad \gcd(150,375)=75, \quad \gcd(150,324,375)=3.

Passo 4

Substituindo na fórmula,
N = 150 + 324 + 375 \;-\;6 - 3 - 75 \;+ 3 = 849 - 84 + 3 = 768.

Resposta

768

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