Suponha que tenhamos dois eventos, A e B, que sejam mutuamente exclusivos. Suponha, além disso, que saibamos que P(A)=0,30 e P(B)=0,40.
a. Quanto é P(A \cap B) ?
b. Quanto é P(A \mid B) ?
c. Um estudante de estatística argumenta que os conceitos de eventos mutuamente exclusivos e eventos independentes são, na verdade, o mesmo, e que se os eventos são mutuamente exclusivos eles devem ser independentes. Você concorda com essa afirmação? Use a informação de probabilidade neste problema para justificar sua resposta.
d. Qual conclusão geral você tiraria a respeito dos eventos mutuamente exclusivos e dos eventos independentes em função dos resultados deste problema?

Passo 1

O enunciado diz que temos dois eventos A e B mutuamente exclusivos, com P(A)=0,30 e P(B)=0,40. O conteúdo envolve probabilidade de interseção de eventos mutuamente exclusivos, probabilidade condicional e independência de eventos.

Passo 2

Como A e B são mutuamente exclusivos, sua interseção é vazia. Logo,
P(A \cap B) = 0.

Passo 3

A probabilidade condicional de A dado B é
P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{0}{0,4} = 0.

Passo 4

Para que A e B fossem independentes, precisaríamos ter
P(A \cap B) = P(A)\,P(B) = 0,3 \times 0,4 = 0,12
porém P(A \cap B)=0\neq 0,12. Além disso, em eventos independentes valeria P(A \mid B)=P(A)=0,3, mas vimos que P(A \mid B)=0. Portanto, A e B não são independentes.

Passo 5

Conclusão geral: eventos mutuamente exclusivos com probabilidades positivas não podem ser independentes. As definições de mutuamente exclusivos e de independência são distintas; eles coincidem apenas no caso trivial em que pelo menos um dos eventos tem probabilidade zero.

Resposta

(a) P(A \cap B)=0
(b) P(A \mid B)=0
(c) Não concordo. Se fossem independentes, teríamos P(A \cap B)=P(A)P(B)=0,12, mas na verdade P(A \cap B)=0. Além disso, P(A \mid B)=0\neq 0,3=P(A).
(d) Eventos mutuamente exclusivos com probabilidades positivas não são independentes; os conceitos são diferentes e só coincidem no caso trivial de probabilidade zero.

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