Dado um quadrilátero inscritível
com diagonais que se interseccionam em
, mostre que: a)
b)
.
Passo 1
O enunciado dá um quadrilátero
inscritível (ou seja, seus vértices estão numa circunferência) e suas diagonais
e
. Precisamos usar o Teorema do Ângulo Inscrito (ângulo formado por dois cordas num ponto da circunferência é metade do arco subtendido), o fato de que ângulos opostos pelo vértice são congruentes, e o critério de semelhança de triângulos por dois ângulos (AA), para mostrar em (a) que
e em (b) que
.)
Passo 2
Observe o ângulo
. No ponto
, os segmentos
e
são cordas da circunferência, de modo que
já que esse é o ângulo inscrito que intercepta o arco
. De forma análoga, no ponto
o ângulo formado pelas cordas
e
intercepta o mesmo arco
, e portanto
Mas, em quadrilátero inscritível,
e
. Concluímos que
Passo 3
Os ângulos
e
são formados pelas retas
e
, respectivamente, e como
e
se cruzam em
, esses ângulos são opostos pelo vértice. Logo,
Passo 4
Tendo duas igualdades de ângulos,
aplica-se o critério AA para concluir que
Passo 5
De
tiramos a razão entre os lados correspondentes:
Multiplicando em cruz, chega-se a
Resposta
a)
.
b) .
b)