Dado um quadrilátero inscritível A B C D com diagonais que se interseccionam em P, mostre que: a) \triangle A P D \sim \triangle B P C ; \quad b) P A \cdot P C=P B \cdot P D.

Passo 1

O enunciado dá um quadrilátero ABCD inscritível (ou seja, seus vértices estão numa circunferência) e suas diagonais AC e BD$ que se cruzam em \(P. Precisamos usar o Teorema do Ângulo Inscrito (ângulo formado por dois cordas num ponto da circunferência é metade do arco subtendido), o fato de que ângulos opostos pelo vértice são congruentes, e o critério de semelhança de triângulos por dois ângulos (AA), para mostrar em (a) que \triangle APD\sim\triangle BPC e em (b) que PA\cdot PC=PB\cdot PD.)

Passo 2

Observe o ângulo \angle ADP. No ponto D, os segmentos DA e DB são cordas da circunferência, de modo que
\angle ADP=\tfrac12\;\widehat{AB},
já que esse é o ângulo inscrito que intercepta o arco AB. De forma análoga, no ponto C o ângulo formado pelas cordas CB e CD intercepta o mesmo arco BD, e portanto
\angle BCP=\tfrac12\;\widehat{BD}.
Mas, em quadrilátero inscritível, \widehat{AB}=\widehat{CD} e \widehat{BD}=\widehat{AC}. Concluímos que
\angle ADP=\angle BCP.

Passo 3

Os ângulos \angle APD e \angle BPC são formados pelas retas PA,\,PD e PB,\,PC, respectivamente, e como AC e BD se cruzam em P, esses ângulos são opostos pelo vértice. Logo,
\angle APD=\angle BPC.

Passo 4

Tendo duas igualdades de ângulos,
\angle ADP=\angle BCP \quad\text{e}\quad \angle APD=\angle BPC,
aplica-se o critério AA para concluir que
\triangle APD\sim\triangle BPC.

Passo 5

De \triangle APD\sim\triangle BPC tiramos a razão entre os lados correspondentes:
\frac{PA}{PB}=\frac{PD}{PC}.
Multiplicando em cruz, chega-se a
PA\cdot PC = PB\cdot PD.

Resposta

a) \triangle APD\sim \triangle BPC.
b) PA\cdot PC = PB\cdot PD.

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