Dadas duas circunferências concêntricas, isto é, com mesmo centro, demonstre que todas as cordas da circunferência maior que são tangentes à menor são bisseccionadas pelos respectivos pontos de tangência.

Passo 1

Temos duas circunferências concêntricas de centro O, a menor de raio r e a maior de raio R com R>r. Seja AB uma corda da circunferência maior que é tangente à circunferência menor no ponto T. Queremos mostrar que T é o ponto médio de AB. Para isso vamos usar duas propriedades clássicas de geometria de círculos:
  1. O raio ao ponto de tangência é perpendicular à reta tangente.
  2. Num círculo, a perpendicular baixada do centro a uma corda bisecta essa corda.

Passo 2

Como AB é tangente à circunferência de centro O e raio r em T, o raio OT dessa circunferência menor é perpendicular à reta AB. Logo,
OT \perp AB.

Passo 3

Agora olhamos para a circunferência maior, também centrada em O. Sabemos que, em qualquer círculo, se um raio é perpendicular a uma corda, então ele divide essa corda em dois segmentos de comprimentos iguais. Aqui, OT é raio da circunferência maior (pois T está no interior dela) e está perpendicular à corda AB. Portanto T divide AB em duas partes iguais.

Resposta

O ponto de tangência T é o ponto médio da corda AB, ou seja, AT = TB.

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