Dadas duas circunferências concêntricas, isto é, com mesmo centro, demonstre que todas as cordas da circunferência maior que são tangentes à menor são bisseccionadas pelos respectivos pontos de tangência.
Passo 1
Temos duas circunferências concêntricas de centro
, a menor de raio
e a maior de raio
com
. Seja
uma corda da circunferência maior que é tangente à circunferência menor no ponto
. Queremos mostrar que
é o ponto médio de
. Para isso vamos usar duas propriedades clássicas de geometria de círculos:
- O raio ao ponto de tangência é perpendicular à reta tangente.
- Num círculo, a perpendicular baixada do centro a uma corda bisecta essa corda.
Passo 2
Como
é tangente à circunferência de centro
e raio
em
, o raio
dessa circunferência menor é perpendicular à reta
. Logo,
Passo 3
Agora olhamos para a circunferência maior, também centrada em
. Sabemos que, em qualquer círculo, se um raio é perpendicular a uma corda, então ele divide essa corda em dois segmentos de comprimentos iguais. Aqui,
é raio da circunferência maior (pois
está no interior dela) e está perpendicular à corda
. Portanto
divide
em duas partes iguais.
Resposta
O ponto de tangência
é o ponto médio da corda
, ou seja,
.