1. Dado qualquer conjunto fechado F subset R^m, o conjunto f^-1(F)=x in R^n ; f(x) in F é fechado de R^n. (Dica: Prove que f^-1(X^c)=(f^-1(X))^c).

Passo 1

O enunciado parte de uma função contínua f:R^ntoR^m e de um conjunto fechado FsubsetR^m. Queremos mostrar que
f^-1(F)=xinR^nmid f(x)in F
é fechado em R^n. Para isso vamos usar a definição de conjunto fechado (complementar de um aberto) e a propriedade de pré-imagem em relação a complementos.

Passo 2

Mostramos a identidade
f^-1(X^c);=;l(f^-1(X)r)^c
para qualquer XsubsetR^m. De fato, se xin f^-1(X^c) então f(x)in X^c, ou seja, f(x)notin X, logo xnotin f^-1(X) e xin (f^-1(X))^c. Reciprocamente, se xin (f^-1(X))^c então xnotin f^-1(X), ou seja, f(x)notin X, o que implica f(x)in X^c e portanto xin f^-1(X^c).

Passo 3

Como F é fechado em R^m, sabemos que
F^c
é aberto em R^m.

Passo 4

Pela continuidade de f, a pré-imagem de qualquer conjunto aberto é aberta. Assim
f^-1(F^c)
é aberto em R^n.

Passo 5

Pelo Passo 2 temos
f^-1(F^c);=;l(f^-1(F)r)^c
Como f^-1(F^c) é aberto, seu complementar ,f^-1(F) é fechado em R^n.

Resposta

f^-1(F) é fechado em R^n.

Exercícios relacionados