- Dado qualquer conjunto fechado
, o conjunto
é fechado de
. (Dica: Prove que
.
Passo 1
O enunciado parte de uma função contínua
e de um conjunto fechado
. Queremos mostrar que
é fechado em
. Para isso vamos usar a definição de conjunto fechado (complementar de um aberto) e a propriedade de pré-imagem em relação a complementos.
Passo 2
Mostramos a identidade
para qualquer
. De fato, se
então
, ou seja,
, logo
e
. Reciprocamente, se
então
, ou seja,
, o que implica
e portanto
.
Passo 3
Como
é fechado em
, sabemos que
é aberto em
.
Passo 4
Pela continuidade de
, a pré-imagem de qualquer conjunto aberto é aberta. Assim
é aberto em
.
Passo 5
Pelo Passo 2 temos
Como
é aberto, seu complementar
é fechado em
.