Problema 76 Construa o gráfico das funções exponenciais e logarítmicas:
f(x)=(12)^x+1-2

Passo 1

O enunciado pede para construirmos o gráfico da função exponencial
f(x) = l(tfrac12r)^x+1 - 2
O conteúdo principal é o estudo de transformações de gráficos de funções da forma (tfrac12)^x: translação horizontal e translação vertical.

Passo 2

Começamos pelo gráfico base
h(x) = l(tfrac12r)^x
Esse gráfico é uma curva decrescente com assíntota horizontal em y=0, passa por (0,1) e por (1,tfrac12).

Passo 3

Aplicamos uma translação horizontal de 1 unidade para a esquerda, definindo
g(x) = h(x+1) = l(tfrac12r)^x+1
Isso desloca cada ponto de h uma unidade à esquerda. Por exemplo, o ponto (0,1) de h vai para (-1,1) em g, e (1,tfrac12) vai para (0,tfrac12). A assíntota permanece y=0.

Passo 4

Em seguida fazemos uma translação vertical de 2 unidades para baixo, obtendo
f(x) = g(x) - 2 = l(tfrac12r)^x+1 - 2
Isso move a assíntota de y=0 para y=-2 e todos os pontos caem 2 unidades. Assim (-1,1) vira (-1,-1) e (0,tfrac12) vira (0,-tfrac32).

Passo 5

Reunindo tudo, o gráfico de f é uma curva decrescente com assíntota horizontal
y = -2,
e pontos marcantes:
(-1,-1),(0,-tfrac32),(1,-tfrac74),;dots
Para xto+infty, f(x)to -2^-; para xto-infty, f(x)to +infty.

Resposta

O gráfico de
f(x)=l(tfrac12r)^x+1-2
é obtido a partir de y=(tfrac12)^x deslocando 1 unidade à esquerda e 2 unidades para baixo. Tem assíntota y=-2 e passa por (-1,-1) e (0,-tfrac32).

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