Seja
um número positivo diferente de 1 . Mostre que a parte da curva
no primeiro quadrante é:
a) côncava para cima se
b) côncava para baixo se
.
a) côncava para cima se
b) côncava para baixo se
Passo 1
O enunciado pede para estudar a concavidade da curva
no primeiro quadrante (ou seja, para
), mostrando que ela é côncava para cima quando
e côncava para baixo quando
. Para isso, vamos usar o critério da segunda derivada:
– Se em
, a curva é côncava para cima.
– Se em
, a curva é côncava para baixo.
– Se
– Se
Passo 2
Calculamos a primeira derivada de
por diferenciação direta de potências:
Passo 3
Em seguida, derivamos novamente para obter a segunda derivada:
Passo 4
Como estamos no primeiro quadrante,
implica
para qualquer
. Logo o sinal de
é o mesmo de
.
– Se , então
, daí
, logo a curva é côncava para cima.
– Se , então
e
, daí
, ou seja
, logo a curva é côncava para baixo.
– Se
– Se
Resposta
a) Para
, a segunda derivada satisfaz
em
, logo a curva é côncava para cima.
b) Para , a segunda derivada satisfaz
em
, logo a curva é côncava para baixo.
b) Para