Seja k um número positivo diferente de 1 . Mostre que a parte da curva y=x^k no primeiro quadrante é:
a) côncava para cima se k>1
b) côncava para baixo se k<1.

Passo 1

O enunciado pede para estudar a concavidade da curva y=x^k no primeiro quadrante (ou seja, para x>0), mostrando que ela é côncava para cima quando k>1 e côncava para baixo quando 0<k<1. Para isso, vamos usar o critério da segunda derivada:
– Se y''(x)>0 em x>0, a curva é côncava para cima.
– Se y''(x)<0 em x>0, a curva é côncava para baixo.

Passo 2

Calculamos a primeira derivada de y=x^k por diferenciação direta de potências:
y'(x)=ddxl(x^kr)=k,x^k-1

Passo 3

Em seguida, derivamos novamente para obter a segunda derivada:
y''(x)=ddxl(k,x^k-1r) = k,(k-1),x^k-2

Passo 4

Como estamos no primeiro quadrante, x>0 implica x^k-2>0 para qualquer k. Logo o sinal de y''(x) é o mesmo de k(k-1).
– Se k>1, então k(k-1)>0, daí y''(x)>0, logo a curva é côncava para cima.
– Se 0<k<1, então k-1<0 e k>0, daí k(k-1)<0, ou seja y''(x)<0, logo a curva é côncava para baixo.

Resposta

a) Para k>1, a segunda derivada satisfaz y''(x)>0 em x>0, logo a curva é côncava para cima.
b) Para 0<k<1, a segunda derivada satisfaz y''(x)<0 em x>0, logo a curva é côncava para baixo.

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