Problema 76 Construa o gráfico das funções exponenciais e logarítmicas:
f(x)=3^x-2

Passo 1

O enunciado pede para construirmos o gráfico da função exponencial
f(x)=3^x-2
e também de sua função logarítmica inversa. O conteúdo é transformações de gráficos de funções do tipo 3^x e log3(x). Vamos precisar conhecer o gráfico de y=3^x e de y=log3(x) e aplicar translações.

Passo 2

Começamos pelo gráfico de base y=3^x:
1. Domínio: R.
2. Imagem: (0,infty).
3. Assíntota horizontal: y=0.
4. Pontos notáveis:
l(0,3^0r)=(0,1),
l(1,3^1r)=(1,3),
l(-1,3^-1r)=(-1,tfrac13).
5. Forma: cresce rápido, é sempre positiva e nunca toca y=0.

Passo 3

Aplicamos a tradução vertical de -2 unidades para baixo em y=3^x. Obtém-se
f(x)=3^x-2
Isso desloca todo o gráfico para baixo, mudando:
1. Assíntota de y=0 para y=-2.
2. Pontos notáveis passam a ser:
(0,1-2)=(0,-1),
(1,3-2)=(1,1),
(-1,tfrac13-2)=(-1,-tfrac53).
3. Domínio continua R.
4. Imagem passa a ser (-2,infty).

Passo 4

Agora obtemos a inversa de f. Troca-mos x por y e resolvemos:
y = 3^x-2 Longrightarrow y+2 = 3^x Longrightarrow x = log3(y+2)
Invertendo os nomes das variáveis, a inversa é
f^-1(x)=log3(x+2)

Passo 5

Para traçar o gráfico de
g(x)=log3(x+2),
partimos do gráfico de base y=log3(x):
1. Domínio: (0,infty).
2. Imagem: R.
3. Assíntota vertical: x=0.
4. Ponto notável: (1,0).
5. Forma: cresce lentamente, atravessa (1,0).
Em seguida fazemos a tradução horizontal de -2 unidades para a esquerda, obtendo:
1. Assíntota vertical passa de x=0 para x=-2.
2. Ponto notável passa de (1,0) para (1-2,0)=(-1,0).
3. Domínio torna-se (-2,infty).
4. Imagem continua R.

Resposta

Gráfico de f(x)=3^x-2:
– Assíntota horizontal em y=-2.
– Passa por (0,-1), (1,1), (-1,-5/3).
– Domínio R, imagem (-2,infty).
Gráfico de f^-1(x)=log3(x+2):
– Assíntota vertical em x=-2.
– Passa por (-1,0).
– Domínio (-2,infty), imagem R.
Os dois gráficos são reflexos um do outro em relação à reta y=x.

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