Problema 76 Construa o gráfico das funções exponenciais e logarítmicas:
Passo 1
O enunciado pede para construirmos o gráfico da função exponencial
e também de sua função logarítmica inversa. O conteúdo é transformações de gráficos de funções do tipo
e
. Vamos precisar conhecer o gráfico de
e de
e aplicar translações.
Passo 2
Começamos pelo gráfico de base
:
. Domínio:
.
. Imagem:
.
. Assíntota horizontal:
.
. Pontos notáveis:
,
,
.
. Forma: cresce rápido, é sempre positiva e nunca toca
.
Passo 3
Aplicamos a tradução vertical de
unidades para baixo em
. Obtém-se
Isso desloca todo o gráfico para baixo, mudando:
. Assíntota de
para
.
. Pontos notáveis passam a ser:
,
,
.
. Domínio continua
.
. Imagem passa a ser
.
Passo 4
Agora obtemos a inversa de
. Troca-mos
por
e resolvemos:
Invertendo os nomes das variáveis, a inversa é
Passo 5
Para traçar o gráfico de
partimos do gráfico de base
:
. Domínio:
.
. Imagem:
.
. Assíntota vertical:
.
. Ponto notável:
.
. Forma: cresce lentamente, atravessa
.
Em seguida fazemos a tradução horizontal de
unidades para a esquerda, obtendo:
. Assíntota vertical passa de
para
.
. Ponto notável passa de
para
.
. Domínio torna-se
.
. Imagem continua
.
Resposta
Gráfico de
:
– Assíntota horizontal em .
– Passa por ,
,
.
– Domínio , imagem
.
– Assíntota horizontal em
– Passa por
– Domínio
Gráfico de
:
– Assíntota vertical em .
– Passa por .
– Domínio , imagem
.
– Assíntota vertical em
– Passa por
– Domínio
Os dois gráficos são reflexos um do outro em relação à reta
.