Mostre que
F^mu nu Gmu nu=12 varepsilon^mu nu alpha beta F^mu nu Falpha beta=4c(E cdot B)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a identidade envolvendo o tensor eletromagnético F^munu, seu dual
G^munu = tfrac12,varepsilon^munualphabetaFalphabeta,
e a relação com os campos elétrico E e magnético B.
Conteúdo: álgebra de tensores antissimétricos, identidade de Levi-Civita e as componentes de F^munu em termos de E e B.

Passo 2

Definimos, em unidades SI e métrica etamunu=diag(+1,-1,-1,-1),
F^0i = E^ic, F^ij = -varepsilon^ijkB^k,
onde i,j,k=1,2,3 e varepsilon^ijk é o símbolo de Levi-Civita tridimensional. O dual é
G^munu = 12,varepsilon^munualphabetaFalphabeta

Passo 3

Escrevemos a contração procurada:
F^munuGmunu =12,varepsilon^munualphabetaFmunuFalphabeta
Como Fmunu é antissimétrico, os únicos termos não nulos ocorrem quando um par de índices é (0,i) e o outro (j,k).

Passo 4

Isolamos esses termos:
12,varepsilon^munualphabetaFmunuFalphabeta =2,varepsilon^0i j kF0i,Fjk
Substituindo
F0i=Eic e Fjk=-varepsilonjklBl, obtemos
2,varepsilon^0ijkEicl(-varepsilonjklBlr) =-2c,varepsilon^ijkvarepsilonjkl,EiBl =4c,EiBi =4c,EcdotB,
once usamos varepsilon^0ijk=varepsilon^ijk e a identidade varepsilon^ijkvarepsilonjkl=2,de<a^il.

Resposta

F^mu nu Gmu nu =12,varepsilon^munualphabetaFmunuFalphabeta =4c,EcdotB

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