Dado a in R resolva os itens abaixo.
(b) Sejam F(s) e G(s) a transformada de Laplace das funções f(t)=cos ( at ) e g(t)= sen(a t), respectivamente. Observando que H(s)=F(s)+i G(s) e usando o item anterior, verifique que, para s>0, temos
F(s)=ss^2+a^2, G(s)=as^2+a^2

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma constante real $ a $ e duas funções:
  • $ f(t) = \cos(at) $
  • $ g(t) = \sin(at) $
Queremos encontrar as transformadas de Laplace dessas funções, chamadas $ F(s) $ e $ G(s) $, respectivamente. Além disso, sabemos que $ H(s) = F(s) + iG(s) $. Vamos usar o que aprendemos sobre transformadas de Laplace para descobrir as expressões de $ F(s) $ e $ G(s) $ para $ s > 0 $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a transformada de Laplace. A transformada de Laplace de uma função $ \phi(t) $ é definida por:
phi(t)
Isso nos ajuda a transformar uma função do tempo $ t $ para o domínio de frequência $ s $, facilitando a resolução de equações diferenciais, por exemplo.

Passo 3

Vamos começar calculando a transformada de Laplace de $ f(t) = \cos(at) $. Sabemos que:
f(t) = cos(at)
Isso é uma fórmula padrão na tabela de transformadas de Laplace.

Passo 4

Agora, vamos calcular a transformada de Laplace de $ g(t) = \sin(at) $. De forma similar, temos:
g(t) = sin(at)
Essa também é uma fórmula comum na tabela de transformadas de Laplace.

Passo 5

Com as transformadas de $ f(t) $ e $ g(t) $ conhecidas, podemos expressar $ H(s) $:
f(t)
Isso confirma a relação dada na questão usando as transformadas encontradas.

Resposta

Portanto, para $ s > 0 $, as transformadas de Laplace são:
s > 0

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