Dado
resolva os itens abaixo.
(b) Sejam
e
a transformada de Laplace das funções
at
e
, respectivamente. Observando que
e usando o item anterior, verifique que, para
, temos
(b) Sejam
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma constante real $ a $ e duas funções:
- $ f(t) = \cos(at) $
- $ g(t) = \sin(at) $
Queremos encontrar as transformadas de Laplace dessas funções, chamadas $ F(s) $ e $ G(s) $, respectivamente. Além disso, sabemos que $ H(s) = F(s) + iG(s) $. Vamos usar o que aprendemos sobre transformadas de Laplace para descobrir as expressões de $ F(s) $ e $ G(s) $ para $ s > 0 $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a transformada de Laplace. A transformada de Laplace de uma função $ \phi(t) $ é definida por:
Isso nos ajuda a transformar uma função do tempo $ t $ para o domínio de frequência $ s $, facilitando a resolução de equações diferenciais, por exemplo.
Passo 3
Vamos começar calculando a transformada de Laplace de $ f(t) = \cos(at) $. Sabemos que:
Isso é uma fórmula padrão na tabela de transformadas de Laplace.
Passo 4
Agora, vamos calcular a transformada de Laplace de $ g(t) = \sin(at) $. De forma similar, temos:
Essa também é uma fórmula comum na tabela de transformadas de Laplace.
Passo 5
Com as transformadas de $ f(t) $ e $ g(t) $ conhecidas, podemos expressar $ H(s) $:
Isso confirma a relação dada na questão usando as transformadas encontradas.
Resposta
Portanto, para $ s > 0 $, as transformadas de Laplace são: