O maior valor inteiro positivo de tal que , é:
a) 1
d) 4
b) 2
e) NDA
c) 3
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo! Queremos encontrar o maior número inteiro positivo $ m $ tal que, para todo número real $ x $, a desigualdade m seja verdadeira. A matéria aqui envolve desigualdades com valor absoluto e funções quadráticas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a desigualdade. A desigualdade é | -x^2 + m x - 4 | > -x^2 + m x - 4. Lembre-se que o valor absoluto de qualquer expressão, |A|, sempre é maior ou igual a $ A $. Então, A acontece somente quando $ A $ é negativo.
Portanto, para que |A| > A seja verdadeira para todo $ x $, precisamos que:
A
Passo 3
Vamos resolver a inequação $ -x^{2} + m x - 4 < 0 $. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por -x^2 + m x - 4 < 0 para facilitar:
-1
Lembre-se que ao multiplicar por um número negativo, a direção da desigualdade inverte.
Passo 4
Agora, temos uma função quadrática positiva: $ x^{2} - m x + 4 > 0 $. Para que essa desigualdade seja verdadeira para todo $ x $, a parábola associada deve estar sempre acima do eixo $ x $, ou seja, nunca toca ou cruza o eixo $ x $.
Isso acontece quando o discriminante da equação quadrática é negativo. O discriminante $ \Delta $ é dado por:
x^2 - m x + 4 > 0
Onde, na nossa equação $ x^{2} - m x + 4 $:
x
Então:
x
Passo 5
Para que a parábola não toque o eixo $ x $, precisamos que $ \Delta < 0 $:
x
Como $ m $ é um número inteiro positivo, os possíveis valores são $ m = 1, 2, 3 $.
Passo 6
Estamos procurando o maior valor inteiro positivo de $ m $ que satisfaz essa condição. Olhando para os valores possíveis:
m
Então, $ m = 3 $ é o maior inteiro que atende à desigualdade para todo $ x $.