Questão 1. Em cada um dos itens abaixo, verifique se as funções y1 e y2 são soluções para a EDO em questão, além disso, considere a solução dada por
phi=c1 y1+c2 y2
Determine c1 e c2 de modo que phi satisfaça as condições iniciais.
y^prime prime-10 y^prime+25 y=0 ; y1=e^5 x e y2=x e^5 x. Com y(0)=3 e y^prime(0)=13.

Passo 1

O enunciado trata de uma EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes:\n\n– Equação: e e as condições iniciais y'' - 10y' + 25y = 0n Duas soluções candidatas: (y1 = e^5x e y2 = x e^5xn Temos a solução >=ral (phi = c1 y1 + c2 y2.

Passo 2

Para entender por que y1 e y2 formam a base de soluções, montamos a equação característica usando y = e^r x:
r^2 - 10r + 25 = 0
Essa equação tem raiz dupla r = 5, logo as soluções fundamentais são
e^5x
e
x e^5x
que coincidem com y1 e y2.

Passo 3

Logo, a solução geral da EDO é
phi(x) = c1 e^5x + c2 x e^5x

Passo 4

Agora aplicamos as condições iniciais. Primeiro, em x=0:
phi(0) = c1 e^0 + c2 ,0,e^0 = c1 = 3

Passo 5

Em seguida, calculamos phi'(x). Derivando:
phi'(x) = c1 cdot 5e^5x + c2 l(e^5x + 5x e^5xr)
Logo,
phi'(0) = 5c1 + c2 = 13
Como já achamos c1 = 3, substituindo:
5cdot 3 + c2 = 13 Longrightarrow 15 + c2 = 13 Longrightarrow c2 = -2

Resposta

c_{1} = 3, \quad c_{2} = -2

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