Dado um segmento com comprimento fixo de 3 cm , determine as áreas dos seguintes polígonos regulares obtidos a partir de tal segmento:
Decágono
Decágono
Passo 1
O enunciado dá um segmento com comprimento fixo de
e pede a área do polígono regular obtido a partir desse segmento quando o polígono é um decágono.
Informações relevantes que temos:
Informações relevantes que temos:
- o polígono é um decágono regular, ou seja, tem
lados todos iguais; - o comprimento do segmento é o lado do decágono:
; - o objetivo: calcular a área do decágono regular com lado
.
Passo 2
Ideia de resolução (sem cálculos ainda): um polígono regular pode ser dividido em
triângulos isósceles iguais a partir do centro. Vou usar essa divisão para obter uma fórmula geral para a área em função de
e do lado
, e depois aplico
e
.
Passo 3
Derivando a fórmula da área por triângulos: cada um dos
triângulos isósceles tem vértice no centro do polígono e base igual a
. O ângulo central de cada triângulo vale
Ao traçar a altura (apotema) de cada triângulo, obtemos um triângulo retângulo com ângulo
no centro, cateto oposto
e cateto adjacente igual ao apotema
. Na trigonometria dessa meia-estrutura temos
A área total do polígono é metade do produto do perímetro pelo apotema:
Substituindo
obtemos a fórmula padrão
(Observação: como
, essa fórmula também pode ser escrita como
.)
Passo 4
Aplicando a fórmula ao decágono (
) com
:
Passo 5
Agora precisamos calcular
(isto é,
). Para obter um valor exato usamos a identidade de ângulo duplo em termos da tangente. Seja
Como
, a identidade
com
dá
Sabemos (valor clássico ligado ao pentágono regular) que
Substituindo na igualdade anterior:
Resolvendo para
:
Multiplicando numerador e denominador pelo conjugado
:
Portanto
Passo 6
Substituindo esse resultado na expressão da área:
Agora um valor aproximado (útil na prova se pedirem aproximação):
Calculemos numericamente . Primeiro
, então
e a raiz é
. Multiplicando por
obtemos
Calculemos numericamente