Dado um segmento com comprimento fixo de 3 cm , determine as áreas dos seguintes polígonos regulares obtidos a partir de tal segmento:
Decágono

Passo 1

O enunciado dá um segmento com comprimento fixo de 3\\ \text{cm} e pede a área do polígono regular obtido a partir desse segmento quando o polígono é um decágono.
Informações relevantes que temos:
  • o polígono é um decágono regular, ou seja, tem n=10 lados todos iguais;
  • o comprimento do segmento é o lado do decágono: s=3\\ \text{cm};
  • o objetivo: calcular a área do decágono regular com lado s=3\\ \text{cm}.

Passo 2

Ideia de resolução (sem cálculos ainda): um polígono regular pode ser dividido em n triângulos isósceles iguais a partir do centro. Vou usar essa divisão para obter uma fórmula geral para a área em função de n e do lado s, e depois aplico n=10 e s=3.

Passo 3

Derivando a fórmula da área por triângulos: cada um dos n triângulos isósceles tem vértice no centro do polígono e base igual a s. O ângulo central de cada triângulo vale
\frac{2\pi}{n}.
Ao traçar a altura (apotema) de cada triângulo, obtemos um triângulo retângulo com ângulo \frac{\pi}{n} no centro, cateto oposto \frac{s}{2} e cateto adjacente igual ao apotema a. Na trigonometria dessa meia-estrutura temos
\tan\!\left(\frac{\pi}{n}\right)=\frac{\frac{s}{2}}{a} \quad\Longrightarrow\quad a=\frac{s}{2\tan\!\left(\frac{\pi}{n}\right)}.
A área total do polígono é metade do produto do perímetro pelo apotema:
A=\frac{1}{2}\cdot (\text{perímetro})\cdot a=\frac{1}{2}\cdot (n s)\cdot a.í
Substituindo a obtemos a fórmula padrão
A=\frac{n s^2}{4\tan\!\left(\frac{\pi}{n}\right)}.
(Observação: como \cot x=1/\tan x, essa fórmula também pode ser escrita como A=\dfrac{n s^2}{4}\cot\!\left(\dfrac{\pi}{n}\right).)

Passo 4

Aplicando a fórmula ao decágono ( n=10) com s=3\\ \text{cm}:
A=\frac{10\cdot 3^2}{4\tan\!\left(\frac{\pi}{10}\right)}=\frac{90}{4\tan\!\left(\frac{\pi}{10}\right)}=\frac{45}{2}\cdot\frac{1}{\tan\!\left(\frac{\pi}{10}\right)}=\frac{45}{2}\cot\!\left(\frac{\pi}{10}\right).

Passo 5

Agora precisamos calcular \cot\!\left(\dfrac{\pi}{10}\right) (isto é, \cot 18^\circ). Para obter um valor exato usamos a identidade de ângulo duplo em termos da tangente. Seja
x=\cot\!\left(\frac{\pi}{10}\right).
Como \tan\!\left(\frac{\pi}{10}\right)=\dfrac{1}{x}, a identidade \cos(2u)=\dfrac{1-\tan^2 u}{1+\tan^2 u} com u=\dfrac{\pi}{10}
\cos\!\left(\frac{\pi}{5}\right)=\frac{1-\dfrac{1}{x^2}}{1+\dfrac{1}{x^2}}=\frac{x^2-1}{x^2+1}.
Sabemos (valor clássico ligado ao pentágono regular) que
\cos\!\left(\frac{\pi}{5}\right)=\cos 36^\circ=\frac{\sqrt{5}+1}{4}.
Substituindo na igualdade anterior:
\frac{x^2-1}{x^2+1}=\frac{\sqrt{5}+1}{4}.
Resolvendo para x^2:
x^2=\frac{1+\cos\!\left(\frac{\pi}{5}\right)}{1-\cos\!\left(\frac{\pi}{5}\right)} =\frac{1+\dfrac{\sqrt{5}+1}{4}}{1-\dfrac{\sqrt{5}+1}{4}} =\frac{\dfrac{5+\sqrt{5}}{4}}{\dfrac{3-\sqrt{5}}{4}} =\frac{5+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}.
Multiplicando numerador e denominador pelo conjugado 3+\sqrt{5}:
x^2=\frac{(5+\sqrt{5})(3+\sqrt{5})}{(3-\sqrt{5})(3+\sqrt{5})} =\frac{20+8\sqrt{5}}{4}=5+2\sqrt{5}.
Portanto
\cot\!\left(\frac{\pi}{10}\right)=x=\sqrt{5+2\sqrt{5}}.

Passo 6

Substituindo esse resultado na expressão da área:
A=\frac{45}{2}\sqrt{5+2\sqrt{5}}\\ \text{cm}^2.
Agora um valor aproximado (útil na prova se pedirem aproximação):
Calculemos numericamente \sqrt{5+2\sqrt{5}}. Primeiro \sqrt{5}\approx 2,236067977, então 5+2\sqrt{5}\approx 9,472135955 e a raiz é \sqrt{9,472135955}\approx 3,077683537. Multiplicando por 45/2=22,5 obtemos
A\approx 22{,}5\times 3{,}077683537 \approx 69{,}2478796\\ \text{cm}^2.

Resposta

\displaystyle A=\frac{45}{2}\sqrt{5+2\sqrt{5}}\\ \text{cm}^2
\displaystyle A\approx 69{,}2479\\ \text{cm}^2

Exercícios relacionados