Determine se a sequência converge ou diverge: \left(\frac{2^{n}+1}{3^{n}+2}\right)_{n \in \mathbb{N}}
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a sequência \left(\dfrac{2^{n}+1}{3^{n}+2}\right)_{n\in\mathbb{N}} converge ou diverge.
Informações dadas: a sequência é definida por a_n=\dfrac{2^{n}+1}{3^{n}+2} para todo n\in\mathbb{N}.
O que devemos responder: dizer se \left(a_n\right) tem limite quando n\to\infty e, se tiver, encontrar esse limite.
Passo 2
Definição curta de convergência (útil para entender a prova): dizer que \left(a_n\right) convergente para L significa que, para todo \varepsilon>0, existe N tal que |a_n-L|<\varepsilon para todo n\ge N. Vou usar manipulações algébricas e fatos sobre potências para encontrar o candidato a limite e depois justificar de forma clara por que é o limite.
Passo 3
Estratégia prática (sem formalismos complicados): quando aparecem potências como 2^{n} e 3^{n} com bases diferentes, uma técnica eficiente é dividir numerador e denominador pela maior potência em base da soma (aqui 3^{n}), para expor fatores do tipo \left(\dfrac{2}{3}\right)^{n} e 3^{-n}, que tendem a 0. Vou aplicar essa divisão agora.
Passo 4
Dividindo numerador e denominador por 3^{n} obtemos a igualdade (fórmula exibida):
O termo \left(\dfrac{2}{3}\right)^{n}: como \left|\dfrac{2}{3}\right|<1, a sequência geométrica \left(\dfrac{2}{3}\right)^{n} converge para 0 quando n\to\infty. Explicação rápida: potências de um número em módulo menor que 1 ficam cada vez menores e tendem a 0.
O termo 3^{-n} é a mesma coisa que \left(\dfrac{1}{3}\right)^{n}; como \left|\dfrac{1}{3}\right|<1, também converge para 0.
Portanto os numeradores e adicionais do denominador têm comportamento conhecido:
Como o denominador tende a 1 (que é diferente de 0), é seguro passar ao limite do quociente pelo teorema que diz: se x_n\to X e y_n\to Y com Y\neq 0, então \dfrac{x_n}{y_n}\to \dfrac{X}{Y}.
Passo 7
Aplicando o teorema do limite de soma/produto/quociente às expressões obtidas:
tem numerador que tende a 0+0=0 e denominador que tende a 1. Logo
\lim_{n\to\infty} a_n=\frac{0}{1}=0.
Intuição: 3^{n} cresce muito mais rápido que 2^{n}, então a fração \dfrac{2^{n}+1}{3^{n}+2} fica cada vez menor, aproximando-se de zero.
Passo 8
Esboço de justificativa do tipo \varepsilon-N (opcional, para ficar rigoroso): seja \varepsilon>0. Escolha N suficientemente grande para que \left(\dfrac{2}{3}\right)^{n}<\dfrac{\varepsilon}{4} e 3^{-n}<\dfrac{\varepsilon}{4} e também tal que 2\cdot 3^{-n}<\dfrac{1}{2} para todo n\ge N. Para tais n temos 1+2\cdot 3^{-n}\ge \tfrac{1}{2}, então