Dado o seguinte problema:
Determine uma solução fundamental do problema acima.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse problema juntos! O que temos aqui é uma equação de onda, que descreve como ondas se propagam em um meio. A gente tem algumas condições iniciais e de contorno que vão nos ajudar a encontrar a solução para a equação. Para resolver isso, vamos precisar usar separação de variáveis e séries de Fourier, que são técnicas matemáticas para resolver esse tipo de equação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação que temos:
Essa é a equação da onda com velocidade $ c = 2 $, já que $ c^2 = 4 $. O que queremos é encontrar uma função $ u(x, t) $ que satisfaça essa equação junto com as condições dadas.
Passo 3
As condições iniciais são:
E as condições de contorno são:
Isso significa que a onda está fixa nas extremidades $ x = 0 $ e $ x = \pi $, e temos uma condição inicial de posição e uma condição inicial de velocidade (que é zero).
Passo 4
Vamos usar a separação de variáveis, assumindo que a solução pode ser escrita como o produto de uma função apenas de $ x $ e uma função apenas de $ t $:
Substituindo isso na equação da onda:
Dividindo ambos os lados por $ X(x) T(t) $:
Onde $ \lambda $ é uma constante de separação.
Passo 5
Isso nos dá duas equações separadas:
- Para $ X(x) $:
- Para $ T(t) $:
Com as condições de contorno $ X(0) = X(\pi) = 0 $, as soluções para $ X(x) $ serão funções senoidais que satisfazem essas condições.
Passo 6
As soluções para $ X(x) $ são funções do tipo:
Mas, como queremos que $ X(\pi) = 0 $, escolhemos $ n $ de forma que $ \sin\left(\frac{n \pi}{2}\right) = 0 $, o que ocorre para $ n = 1, 2, 3, ··· $
Passo 7
Agora, as soluções para $ T(t) $ são:
Como $ \lambda = \frac{n^2}{4} $, temos:
Passo 8
A solução geral é uma soma de todas essas soluções:
Passo 9
Aplicando as condições iniciais, temos:
- $ u(x, 0) = f(x) $:
Isso implica que $ A_n $ são os coeficientes de $ f(x) $ na série de Fourier.
- $ \frac{\partial u}{\partial t}(x, 0) = 0 $:
Isso indica que todos os $ B_n = 0 $.
Passo 10
Dado que só temos termos com $ A_n $, nossa solução simplifica para:
Comparando com $ f(x) = 3 \sin(x) - 5 \sin(4x) $, vemos que:
- Para $ n = 2 $: $ \frac{n}{2} = 1 $, então $ \sin\left(\frac{2 x}{2}\right) = \sin(x) $
- Para $ n = 8 $: $ \frac{n}{2} = 4 $, então $ \sin\left(\frac{8 x}{2}\right) = \sin(4x) $
Assim, os termos da série são:
Resposta
A solução fundamental do problema é: