Dado o seguinte problema:
l l partial^2 upartial t^2=4 partial^2 upartial x^2, 0 <= x <= pi, t >= 0 u(x, 0)=f(x), partial upartial t(x, 0)=0,0 <= x <= pi u(0, t)=0, u(pi, t)=0, t >= 0 onde f(x)=3 sen(x)-5 sen(4 x)
Determine uma solução fundamental do problema acima.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse problema juntos! O que temos aqui é uma equação de onda, que descreve como ondas se propagam em um meio. A gente tem algumas condições iniciais e de contorno que vão nos ajudar a encontrar a solução para a equação. Para resolver isso, vamos precisar usar separação de variáveis e séries de Fourier, que são técnicas matemáticas para resolver esse tipo de equação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação que temos:
partial^2 upartial t^2 = 4 partial^2 upartial x^2
Essa é a equação da onda com velocidade $ c = 2 $, já que $ c^2 = 4 $. O que queremos é encontrar uma função $ u(x, t) $ que satisfaça essa equação junto com as condições dadas.

Passo 3

As condições iniciais são:
u(x, 0) = f(x) = 3 sin(x) - 5 sin(4x)
partial upartial t(x, 0) = 0
E as condições de contorno são:
u(0, t) = 0 e u(pi, t) = 0
Isso significa que a onda está fixa nas extremidades $ x = 0 $ e $ x = \pi $, e temos uma condição inicial de posição e uma condição inicial de velocidade (que é zero).

Passo 4

Vamos usar a separação de variáveis, assumindo que a solução pode ser escrita como o produto de uma função apenas de $ x $ e uma função apenas de $ t $:
x
Substituindo isso na equação da onda:
t
Dividindo ambos os lados por $ X(x) T(t) $:
u(x, t) = X(x) T(t)
Onde $ \lambda $ é uma constante de separação.

Passo 5

Isso nos dá duas equações separadas:
  1. Para $ X(x) $:
X(x)
  1. Para $ T(t) $:
d^2 X(x)dx^2 + lambda4 X(x) = 0
Com as condições de contorno $ X(0) = X(\pi) = 0 $, as soluções para $ X(x) $ serão funções senoidais que satisfazem essas condições.

Passo 6

As soluções para $ X(x) $ são funções do tipo:
X(x)
Mas, como queremos que $ X(\pi) = 0 $, escolhemos $ n $ de forma que $ \sin\left(\frac{n \pi}{2}\right) = 0 $, o que ocorre para $ n = 1, 2, 3, ··· $

Passo 7

Agora, as soluções para $ T(t) $ são:
T(t)
Como $ \lambda = \frac{n^2}{4} $, temos:
Tn(t) = An cos(raizlambda t) + Bn sin(raizlambda t)

Passo 8

A solução geral é uma soma de todas essas soluções:
u(x, t) = sumn=1^infty [ An cos(n t2) + Bn sin(n t2) ] sin(n x2)

Passo 9

Aplicando as condições iniciais, temos:
  1. $ u(x, 0) = f(x) $:
u(x, 0) = f(x)
Isso implica que $ A_n $ são os coeficientes de $ f(x) $ na série de Fourier.
  1. $ \frac{\partial u}{\partial t}(x, 0) = 0 $:
sumn=1^infty An sin(n x2) = 3 sin(x) - 5 sin(4x)
Isso indica que todos os $ B_n = 0 $.

Passo 10

Dado que só temos termos com $ A_n $, nossa solução simplifica para:
An
Comparando com $ f(x) = 3 \sin(x) - 5 \sin(4x) $, vemos que:
  • Para $ n = 2 $: $ \frac{n}{2} = 1 $, então $ \sin\left(\frac{2 x}{2}\right) = \sin(x) $
  • Para $ n = 8 $: $ \frac{n}{2} = 4 $, então $ \sin\left(\frac{8 x}{2}\right) = \sin(4x) $
Assim, os termos da série são:
u(x, t) = sumn=1^infty An cos(n t2) sin(n x2)

Resposta

A solução fundamental do problema é:
u(x, t) = 3 cos(t) sin(x) - 5 cos(4 t) sin(4 x)

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