Faça o que se pede:
Represente graficamente e em forma de notação de conjunto o domínio da função
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Represente graficamente e em forma de notação de conjunto o domínio da função
Passo 1
O enunciado pede para achar o domínio da função z = \sqrt{y - x^{2}} + \sqrt{2x - y}, ou seja, os pares (x,y) para os quais ambos os radicais são definidos. Vamos usar o conceito de domínio de uma função de duas variáveis, impondo que cada argumento de raiz quadrada seja não negativo.
Passo 2
Para garantir \sqrt{y - x^{2}} definido precisamos de y - x^{2} \ge 0. Em notação matemática temos:
o que equivale a
Para \sqrt{2x - y} definido precisamos de 2x - y \ge 0, ou seja:
Passo 3
As duas condições juntas dão a interseção
Para visualizar onde isso ocorre em x, resolvemos x^{2} \le 2x:
Passo 4
Resolvendo x^{2} \le 2x temos
Passo 5
Graficamente, o domínio é a região do plano limitada pela parábola y = x^{2} por baixo e pela reta y = 2x por cima, entre as interseções x = 0 (ponto (0,0)) e x = 2 (ponto (2,4)), incluindo as fronteiras.
Em notação de conjunto, juntando tudo temos o domínio:
Em notação de conjunto, juntando tudo temos o domínio:
Passo 6
A seguir está a descrição final do domínio.
Resposta
D = {(x,y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x^{2} \le y \le 2x}