Na seguinte equação utt=a^2 uxx, se u(x, t)=v(zeta, eta), onde zeta=zeta(x, t)= x+ at e eta=eta(x, t)=x-a t, verificar que, partial^2 vpartial eta partial zeta=0. (observação: caso não se lembre como fazer os calculos, justificar com suas proprias palabras).

Passo 1

Nesse exercício temos a equação da onda utt=a^2uxx e fazemos a mudança de variáveis zeta=x+at e eta=x-at. O que vamos usar é a regra da cadeia para calcular derivadas de u(x,t)=v(zeta,eta).

Passo 2

Aplicando a regra da cadeia para obter ux e ut, temos
ux&=vzeta,partialzetapartial x+veta,partialetapartial x=vzeta+veta, ut&=vzeta,partialzetapartial t+veta,partialetapartial t=a,vzeta-a,veta

Passo 3

Derivando mais uma vez em relação a x para achar uxx, aplicamos a regra da cadeia a ux=vzeta+veta e obtemos
uxx=vzetazeta+2vzetaeta+vetaeta

Passo 4

Derivando ut=a,vzeta-a,veta em relação a t para achar utt, temos
utt=a^2l(vzetazeta-2vzetaeta+vetaetar)

Passo 5

Substituindo uxx e utt na equação da onda utt=a^2uxx
a^2l(vzetazeta-2vzetaeta+vetaetar)=a^2l(vzetazeta+2vzetaeta+vetaetar)

Passo 6

Cancelando os termos iguais e dividindo por a^2 chegamos a
-2vzetaeta=2vzetaetaLongrightarrow vzetaeta=0

Resposta

partial^2vpartialetapartialzeta=0

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