Usando a transformada de Laplace, resolver o problema de valor inicial (use que .
Passo 1
Resumo do enunciado: temos o PVI 2y''+y=3sin(t) com condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=1. Vamos usar a transformada de Laplace para transformar a EDO em uma equação algébrica em s e depois aplicar a transformada inversa.
Passo 2
Aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da EDO usando Ly''=s^2Y(s)-s y(0)-y'(0) e Lsin(t)=1/(s^2+1):
2l(s^2Y(s)-s y(0)-y'(0)r)+Y(s)=3cdot1s^2+1
Passo 3
Substituir y(0)=1 e y'(0)=1 e isolar Y(s):
2s^2Y(s)-2s-2+Y(s)=3s^2+1
Y(s)(2s^2+1)=2s+2+3s^2+1
Y(s)=2s+22s^2+1+3(s^2+1)(2s^2+1)
Passo 4
Decompor a fração 3/[(s^2+1)(2s^2+1)] em partes simples:
3(s^2+1)(2s^2+1)=As^2+1+B2s^2+1
3=A(2s^2+1)+B(s^2+1)=(2A+B)s^2+(A+B)
Igualando coeficientes:
2A+B=0,A+B=3,Rightarrow A=-3, B=6
Logo,
Y(s)=2s+22s^2+1-3s^2+1+62s^2+1
Passo 5
Reconhecer as transformadas inversas conhecidas e inverter cada termo:
-3/(s^2+1) → -3sin(t).
Juntando tudo, obtemos a solução no tempo. A forma final de y(t) é então obtida somando os termos invertidos. Veja que cada parte corresponde a uma função trigonométrica no domínio do tempo.