Usando a transformada de Laplace, resolver o problema de valor inicial (use que c(sen(a l)=as^2+a^2).
l 2 y^prime prime+y=3 sen(t) y(O)=1 y^prime(O)=1

Passo 1

Resumo do enunciado: temos o PVI 2y''+y=3sin(t) com condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=1. Vamos usar a transformada de Laplace para transformar a EDO em uma equação algébrica em s e depois aplicar a transformada inversa.

Passo 2

Aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da EDO usando Ly''=s^2Y(s)-s y(0)-y'(0) e Lsin(t)=1/(s^2+1):
2l(s^2Y(s)-s y(0)-y'(0)r)+Y(s)=3cdot1s^2+1

Passo 3

Substituir y(0)=1 e y'(0)=1 e isolar Y(s):
2s^2Y(s)-2s-2+Y(s)=3s^2+1
Y(s)(2s^2+1)=2s+2+3s^2+1
Y(s)=2s+22s^2+1+3(s^2+1)(2s^2+1)

Passo 4

Decompor a fração 3/[(s^2+1)(2s^2+1)] em partes simples:
3(s^2+1)(2s^2+1)=As^2+1+B2s^2+1
3=A(2s^2+1)+B(s^2+1)=(2A+B)s^2+(A+B)
Igualando coeficientes:
2A+B=0,A+B=3,Rightarrow A=-3, B=6
Logo,
Y(s)=2s+22s^2+1-3s^2+1+62s^2+1

Passo 5

Reconhecer as transformadas inversas conhecidas e inverter cada termo:
  • dfrac2s2s^2+1=dfracss^2+1/2 cos(t/raiz2).
  • dfrac82s^2+1=dfrac4s^2+1/2 4raiz2,sin(t/raiz2) (pois 1/(s^2+a^2) (1/a)sin(at)).
  • -3/(s^2+1) -3sin(t).
    Juntando tudo, obtemos a solução no tempo. A forma final de y(t) é então obtida somando os termos invertidos. Veja que cada parte corresponde a uma função trigonométrica no domínio do tempo.

Resposta

y(t)=\cos\bigl(t/\sqrt2\bigr)+4\sqrt2,\sin\bigl(t/\sqrt2\bigr)-3\sin(t)

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