Se (Nx-My) / M=Q(y), onde Q(y) só depende da variável y, então a equação diferencial
M+N y^prime=0
tem o fator integrante da forma
mu(y)=e^integral Q(y) d y
Encontre o fator integrante mu(y) e resolva a seguinte equação:
(3 x^2 y+2 x y+y^3) d x+(x^2+y^2) d y=0.

Passo 1

Resumindo o enunciado, temos a equação diferencial
(3x^2y+2xy+y^3),dx+(x^2+y^2),dy=0
Ou seja, identificamos
M(x,y)=3x^2y+2xy+y^3, N(x,y)=x^2+y^2,
e queremos encontrar um fator integrante (inicialmente pensado em função de y) e resolver a equação.

Passo 2

Primeiro, verificamos se a equação já é exata, calculando as derivadas parciais:
My=3x^2+2x+3y^2, Nx=2x
Como Myneq Nx, a equação não é exata.

Passo 3

Para buscar um fator integrante, usamos o critério conhecido:
  • Se (Nx-My)/M=Q(y) depende só de y, então mu=mu(y).
  • Se (My-Nx)/N=R(x) depende só de x, então mu=mu(x).
    Calculando,
Nx-MyM=2x-(3x^2+2x+3y^2)3x^2y+2xy+y^3,
que não é função só de y. Já
My-NxN=3x^2+2x+3y^2-2xx^2+y^2 =3(x^2+y^2)x^2+y^2=3,
que é constante (função de x só). Logo o fator integrante depende de x:
mu(x)=e^integral3,dx=e^3x

Passo 4

Multiplicamos a equação original por mu(x)=e^3x. Obtemos a nova forma
tilde M=(3x^2y+2xy+y^3)e^3x, tilde N=(x^2+y^2)e^3x
Agora conferimos exatidão:
partialtilde Mpartial y=(3x^2+2x+3y^2)e^3x, partialtilde Npartial x=igl(3(x^2+y^2)+2xr)e^3x=(3x^2+2x+3y^2)e^3x, 
que são iguais, então a forma é exata.

Passo 5

Como é exata, existe uma função potencial psi(x,y) tal que
partialpsipartial x=tilde M e partialpsipartial y=tilde N
Integramos a primeira em relação a x:
psi(x,y)=integral(3x^2y+2xy+y^3)e^3x,dx + h(y)
Fazendo as integrais por partes, chega-se a
psi(x,y)=e^3xl(x^2y+y^33r)+h(y)

Passo 6

Para determinar h(y), usamos
partialpsipartial y=e^3x(x^2+y^2)+h'(y) stackrel!=tilde N=(x^2+y^2)e^3x
Logo h'(y)=0 e h(y)=C constante.

Passo 7

Daí a solução geral implícita fica
e^3xl(x^2y+y^33r)=C,
o que envolve o fator integrante mu(x)=e^3x.

Resposta

e{3x}\Bigl(x2y+\tfrac{y^3}{3}\Bigr)=C

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