Se
, onde
só depende da variável y, então a equação diferencial
tem o fator integrante da forma
Encontre o fator integrante
e resolva a seguinte equação:
.
Passo 1
Resumindo o enunciado, temos a equação diferencial
Ou seja, identificamos
e queremos encontrar um fator integrante (inicialmente pensado em função de y) e resolver a equação.
Passo 2
Primeiro, verificamos se a equação já é exata, calculando as derivadas parciais:
Como
, a equação não é exata.
Passo 3
Para buscar um fator integrante, usamos o critério conhecido:
- Se
depende só de , então . - Se
depende só de , então .
Calculando,
que não é função só de
. Já
que é constante (função de
só). Logo o fator integrante depende de
:
Passo 4
Multiplicamos a equação original por
. Obtemos a nova forma
Agora conferimos exatidão:
que são iguais, então a forma é exata.
Passo 5
Como é exata, existe uma função potencial
tal que
Integramos a primeira em relação a
:
Fazendo as integrais por partes, chega-se a
Passo 6
Para determinar
, usamos
Logo
e
constante.
Passo 7
Daí a solução geral implícita fica
o que envolve o fator integrante
.
Resposta
e{3x}\Bigl(x2y+\tfrac{y^3}{3}\Bigr)=C