Encontre a transformada de Laplace de f(t)=3 e^-2 t-7 cos (3 t), t >= 0. (observaçào: năo use formulas, fazer os calculos).

Passo 1

Vamos dar uma geral no enunciado: queremos a transformada de Laplace de f(t)=3e^-2t-7cos(3t), para t>=0. O conteúdo aqui é a definição de transformada de Laplace
Lf(t)(s)=integral0^inftyf(t)e^-st,dt
e vamos precisar integrar exponenciais e usar integração por partes no termo com cos(3t).

Passo 2

Escrevemos a transformada usando linearidade:
Lf(t)(s)=integral0^inftyl(3e^-2t-7cos(3t)r)e^-stdt =3integral0^inftye^-(s+2)tdt-7integral0^inftye^-stcos(3t)dt

Passo 3

Avaliação do primeiro integral: para Re(s)>-2 temos
integral0^inftye^-(s+2)tdt =l[-1s+2e^-(s+2)tr]0^infty =1s+2
Multiplicando por 3 dá 3/(s+2).

Passo 4

Agora: I(s)=integral0^inftye^-stcos(3t)dt. Vamos usar integração por partes duas vezes.
  1. Tome u=cos(3t), dv=e^-stdt. Então du=-3sin(3t)dt e v=-1se^-st. Logo:
I=l[-e^-stcos(3t)sr]0^infty-integral0^inftyl(-1se^-str)(-3sin(3t))dt =1s-3sJ(s),
onde J(s)=integral0^inftye^-stsin(3t)dt.

Passo 5

  1. Para J(s), faça u=sin(3t), dv=e^-stdt. Então du=3cos(3t)dt, v=-1s e^-st. Assim:
J=l[-e^-stsin(3t)sr]0^infty-integral0^inftyl(-1se^-str)(3cos(3t))dt =3sI(s)
Substituindo em I=tfrac1s-tfrac3sJ
I=1s-3scdot3sI Rightarrow Il(1-9s^2r)=1s Rightarrow I(s)=ss^2+9

Passo 6

Juntando tudo, a transformada de f é
Lf(t)(s)=3s+2-7cdotss^2+9
Geralmente a região de convergência é Re(s)>0.

Resposta

3s+2-7ss^2+9

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