Dado o seguinte sistema
Encontre a solução do sistema de equações dado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais que você me deu. Estamos lidando com um sistema linear da forma
, onde
é a matriz dos coeficientes. Para resolver isso, vamos precisar encontrar os autovalores e autovetores da matriz
. Esses conceitos vêm da álgebra linear e são fundamentais para resolver sistemas de equações diferenciais lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz
. Para isso, precisamos resolver a equação característica, que é dada por:
Aqui,
representa os autovalores e
é a matriz identidade do mesmo tamanho que
.
Passo 3
Vamos calcular a determinante
:
Então,
Expandindo:
Portanto,
Resolvendo para
:
Então, os autovalores são
e
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para
:
Substituímos na equação
:
Isso resulta na equação:
Podemos escolher
, então o autovetor é
.
Para
:
Substituímos na equação
:
Isso resulta na equação:
Podemos escolher
, então o autovetor é
.
Passo 5
Com os autovalores e autovetores em mãos, podemos escrever a solução geral do sistema de equações diferenciais:
Substituindo os valores:
Resposta
A solução geral do sistema é:
onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.