Dado o seguinte sistema
X^prime(t)=(ll 2 & -1 3 & -2 ) X(t)
Encontre a solução do sistema de equações dado.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais que você me deu. Estamos lidando com um sistema linear da forma , onde é a matriz dos coeficientes. Para resolver isso, vamos precisar encontrar os autovalores e autovetores da matriz . Esses conceitos vêm da álgebra linear e são fundamentais para resolver sistemas de equações diferenciais lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz det(A - lambda I) = 0 . Para isso, precisamos resolver a equação característica, que é dada por:
Aqui, representa os autovalores e é a matriz identidade do mesmo tamanho que .

Passo 3

Vamos calcular a determinante A - lambda I = 2 - lambda & -1 3 & -2 - lambda :
det(A - lambda I) = (2 - lambda)(-2 - lambda) - (-1)(3) = (2 - lambda)(-2 - lambda) + 3
Então,
(2 - lambda)(-2 - lambda) = -4 -2lambda + 2lambda + lambda^2 = lambda^2 - 4
Expandindo:
lambda^2 - 4 + 3 = lambda^2 - 1 = 0
Portanto,
lambda^2 - 1 = 0 implies lambda = pm 1
Resolvendo para :
Então, os autovalores são e .

Passo 4

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para 2 - 1 & -1 3 & -2 - 1 v1 v2 = 1 & -1 3 & -3 v1 v2 = 0 0 :
Substituímos na equação v1 - v2 = 0 implies v1 = v2 :
1 1
Isso resulta na equação:
2 + 1 & -1 3 & -2 + 1 v1 v2 = 3 & -1 3 & -1 v1 v2 = 0 0
Podemos escolher 3v1 - v2 = 0 implies v2 = 3v1 , então o autovetor é 1 3 .
Para :
Substituímos na equação :
Isso resulta na equação:
Podemos escolher , então o autovetor é .

Passo 5

Com os autovalores e autovetores em mãos, podemos escrever a solução geral do sistema de equações diferenciais:
X(t) = c1 e^lambda1 t v^(1) + c2 e^lambda2 t v^(2)
Substituindo os valores:
X(t) = c1 e^1 cdot t 1 1 + c2 e^-1 cdot t 1 3

Resposta

A solução geral do sistema é:
X(t) = c1 e^t 1 1 + c2 e^-t 1 3
onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais.

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