(Problema de Neumann para a Equação de Laplace no Disco) Use o método de separação de variáveis para resolver o problema de Neumann no disco
assumindo a condição
Porque esta condição é necessária para existir uma solução para o problema de Neumann?
Note que a solução que você obteve não é única, pois somando uma constante arbitrária a uma solução do problema de Neumann para a equação de Laplace ela ainda é uma solução para o problema.
Note que a solução que você obteve não é única, pois somando uma constante arbitrária a uma solução do problema de Neumann para a equação de Laplace ela ainda é uma solução para o problema.
Passo 1
Enunciado: temos que resolver a equação de Laplace em coordenadas polares no disco de raio R,
sujeito à condição de Neumann na fronteira
e assumindo
Vamos usar separação de variáveis e séries de Fourier para achar u(r,θ).
Passo 2
Aplicar separação de variáveis: suponha
Substituindo na equação de Laplace e dividindo por u,
\Longrightarrow \frac{\Theta’’}{\Theta}=-\lambda,
\quad r^2R’’+rR’-\lambda R=0.
\quad r^2R’’+rR’-\lambda R=0.
$$
Para periodicidade de período 2π em θ, temos autovalores , com n inteiro.
Para periodicidade de período 2π em θ, temos autovalores
Passo 3
Resolver ODEs:
Para n=0:
Para n=0:
Regularidade em r=0 exige D_0=0, logo R_0=C_0 (constante).
Para n\ge1:
Para n\ge1:
Regularidade em r=0 força B_n=0. Assim a solução geral regular é
Passo 4
Expandir a condição de fronteira:
Escreva
Escreva
onde a média
pela hipótese.
Calcule
Calcule
No contorno r=R impomos
Igualando coeficientes obtemos
Passo 5
Solução final e condição de compatibilidade:
A solução mais geral regular no centro é
A solução mais geral regular no centro é
com
constante arbitrária.
A condição
A condição
é necessária pelo Teorema da Divergência, pois
impõe que a integral de
seja zero para existir solução.
Passo 6
Final Answer