(Problema de Neumann para a Equação de Laplace no Disco) Use o método de separação de variáveis para resolver o problema de Neumann no disco
ur r+1r ur+1r^2 utheta theta=0 & se 0
assumindo a condição
integral0^2 pi f(theta) d theta=0
Porque esta condição é necessária para existir uma solução para o problema de Neumann?
Note que a solução que você obteve não é única, pois somando uma constante arbitrária a uma solução do problema de Neumann para a equação de Laplace ela ainda é uma solução para o problema.

Passo 1

Enunciado: temos que resolver a equação de Laplace em coordenadas polares no disco de raio R,
urr+1rur+1r^2uthetatheta=0,
sujeito à condição de Neumann na fronteira
ur(R,theta)=f(theta),
e assumindo
integral0^2pif(theta),dtheta=0
Vamos usar separação de variáveis e séries de Fourier para achar u(r,θ).

Passo 2

Aplicar separação de variáveis: suponha
u(r,theta)=R(r),Theta(theta)
Substituindo na equação de Laplace e dividindo por u,
r^2R''+rR'R+Theta''Theta=0 $$
\Longrightarrow \frac{\Theta’’}{\Theta}=-\lambda,
\quad r^2R’’+rR’-\lambda R=0.
$$
Para periodicidade de período 2π em θ, temos autovalores Longrightarrow Theta''Theta=-lambda, r^2R''+rR'-lambda R=0 , com n inteiro.

Passo 3

Resolver ODEs:
Para n=0:
r^2R0''+rR0'=0 implies R0(r)=C0+D0ln r
Regularidade em r=0 exige D_0=0, logo R_0=C_0 (constante).
Para n\ge1:
r^2Rn''+rRn'-n^2Rn=0 implies Rn(r)=An r^n + Bn r^-n
Regularidade em r=0 força B_n=0. Assim a solução geral regular é
u(r,theta)=C0+sumn=1^infty r^nl(ancos(ntheta)+bnsin(ntheta)r)

Passo 4

Expandir a condição de fronteira:
Escreva
f(theta)=sumn=0^infty l(alphancos(ntheta)+betansin(ntheta)r),
onde a média alpha0=tfrac12piintegral0^2pif=0 pela hipótese.
Calcule
ur(r,theta)=sumn=1^infty n,r^n-1l(ancos(ntheta)+bnsin(ntheta)r)
No contorno r=R impomos
ur(R,theta)=sumn=1^infty nR^n-1(ancos(ntheta)+bnsin(ntheta))=sumn=1^infty(alphancos(ntheta)+betansin(ntheta))
Igualando coeficientes obtemos
an=alphannR^n-1, bn=betannR^n-1, n>=1

Passo 5

Solução final e condição de compatibilidade:
A solução mais geral regular no centro é
u(r,theta)=C0+sumn=1^inftyr^nnR^n-1l(alphancos(ntheta)+betansin(ntheta)r)
com C0 constante arbitrária.
A condição
integral0^2pif(theta),dtheta=0
é necessária pelo Teorema da Divergência, pois
integralpartial Dur,ds=integralDDe
impõe que a integral de f seja zero para existir solução.

Passo 6

Final Answer

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