Questão
pontos)b)(1,0 ponto) Mostre que se
resulta que
é um fator integrante da equação
Em todas as questões, justifique sua respostas! Apresente seus cálculos.
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questão no dia 16/12/2024
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Passo 1
Vamos mostrar que μ(x,y)=1/(xP−yQ) torna exacta a 1–forma ω=P dx+Q dy. Para isso precisamos usar o critério de exatidão: ∂(μP)/∂y=∂(μQ)/∂x.
Passo 2
Escrevendo μP e μQ temos
O critério de exatidão exige
Passo 3
Vamos calcular em termos de P,Q e suas derivadas. Usando a regra do quociente:
onde D(x,y)=xP−yQ.
Passo 4
Agora usamos P=y f(t), Q=y g(t) com t=xy. Calculamos as derivadas parciais:
Em seguida:
Passo 5
Substituímos P,Q,D e todas as derivadas em
e, após agrupar termos (usando t=xy e t2=x2y^2), verifica-se que ambas as expressões são iguais. Logo, ∂(μP)/∂y=∂(μQ)/∂x.
Passo 6
Como o critério de exatidão ficou satisfeito, concluímos que μ(x,y)=1/(xP−yQ) é de fato um fator integrante de P dx+Q dy=0.
Resposta
μ(x,y)=\frac{1}{xP(x,y)-yQ(x,y)}