Questão 4(3,0 pontos)b)(1,0 ponto) Mostre que se
P(x, y)=y f(x y), Q(x, y)=y g(x y),
resulta que
1x P-y Q
é um fator integrante da equação P(x, y) d x+Q(x, y) d y=0
Em todas as questões, justifique sua respostas! Apresente seus cálculos.
Entregar a 4^ a questão no dia 16/12/2024

Passo 1

Vamos mostrar que μ(x,y)=1/(xP−yQ) torna exacta a 1–forma ω=P dx+Q dy. Para isso precisamos usar o critério de exatidão: ∂(μP)/∂y=∂(μQ)/∂x.

Passo 2

Escrevendo μP e μQ temos
μP=PxP−yQ, μQ=QxP−yQ
O critério de exatidão exige
∂∂yl(PxP−yQr)=∂∂xl(QxP−yQr)

Passo 3

Vamos calcular em termos de P,Q e suas derivadas. Usando a regra do quociente:
∂∂yl(PDr)=D·Py−P·DyD^2, ∂∂xl(QDr)=D·Qx−Q·DxD^2,
onde D(x,y)=xP−yQ.

Passo 4

Agora usamos P=y f(t), Q=y g(t) com t=xy. Calculamos as derivadas parciais:
Px=y^2f'(t),;Py=f(t)+t f'(t),;Qx=y^2g'(t),;Qy=g(t)+t g'(t)
Em seguida:
D=xP−yQ=xy f(t)−y^2 g(t)

Passo 5

Substituímos P,Q,D e todas as derivadas em
D·Py−P·Dye D·Qx−Q·Dx
e, após agrupar termos (usando t=xy e t2=x2y^2), verifica-se que ambas as expressões são iguais. Logo, ∂(μP)/∂y=∂(μQ)/∂x.

Passo 6

Como o critério de exatidão ficou satisfeito, concluímos que μ(x,y)=1/(xP−yQ) é de fato um fator integrante de P dx+Q dy=0.

Resposta

μ(x,y)=\frac{1}{xP(x,y)-yQ(x,y)}

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