Determine os pontos críticos da função dada e classifique-os (a classificação refere-se a ponto de máximo local, ponto de mínimo local ou ponto de inflexão).
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função $ x(t) = \sqrt[3]{t^{3} - 2t + 1} $ e precisamos encontrar seus pontos críticos. Pontos críticos são valores de $ t $ onde a derivada da função é zero ou não existe. Esses pontos podem ser máximos locais, mínimos locais ou pontos de inflexão. Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada da função e analisar onde ela se annula ou não existe.
Passo 2
Vamos começar calculando a derivada de $ x(t) $. A função é uma raiz cúbica, o que podemos reescrever como $ x(t) = (t^{3} - 2t + 1)^{1/3} $. Para derivar, usaremos a regra da cadeia, que nos permite derivar funções compostas.
Passo 3
Aplicando a regra da cadeia, a derivada de $ x(t) $ em relação a $ t $ é:
Aqui, derivamos a parte externa $ (t^{3} - 2t + 1)^{1/3} $ usando a potência $ \frac{1}{3} $ e mantivemos a derivada da parte interna $ 3t^{2} - 2 $.
Passo 4
Simplificando a derivada, obtemos:
Esse é o nosso $ x’(t) $. Agora, precisamos encontrar onde essa derivada é igual a zero ou onde ela não existe para identificar os pontos críticos.
Passo 5
Para $ x’(t) = 0 $, o numerador deve ser zero:
Então, temos duas soluções: $ t = \sqrt{\frac{2}{3}} $ e $ t = -\sqrt{\frac{2}{3}} $.
Passo 6
Agora, verificamos onde a derivada não existe. Isso ocorre quando o denominador é zero:
Resolvendo a equação $ t^{3} - 2t + 1 = 0 $, encontramos que $ t = 1 $ é uma raiz. Portanto, $ t = 1 $ é um ponto onde a derivada não existe.
Passo 7
Agora temos os pontos críticos: $ t = \sqrt{\frac{2}{3}} $, $ t = -\sqrt{\frac{2}{3}} $ e $ t = 1 $. Vamos classificar cada um deles.
Passo 8
Para classificar os pontos críticos, analisamos a segunda derivada ou observamos o comportamento da primeira derivada ao redor desses pontos.
Calculando a segunda derivada pode ser complicado, então vamos observar o sinal de $ x’(t) $ em intervalos próximos aos pontos críticos.
Passo 9
Analisando os intervalos:
- Para $ t < -\sqrt{\frac{2}{3}} $, $ x’(t) > 0 $
- Entre $ -\sqrt{\frac{2}{3}} $ e $ \sqrt{\frac{2}{3}} $, $ x’(t) < 0 $
- Entre $ \sqrt{\frac{2}{3}} $ e $ 1 $, $ x’(t) > 0 $
- Para $ t > 1 $, $ x’(t) $ não existe
Passo 10
Com base nisso:
- Em $ t = -\sqrt{\frac{2}{3}} $, a derivada muda de positiva para negativa: máximo local
- Em $ t = \sqrt{\frac{2}{3}} $, a derivada muda de negativa para positiva: mínimo local
- Em $ t = 1 $, a derivada não existe e não há mudança de sinal clara: ponto de inflexão
Resposta
Os pontos críticos da função são:
- $ t = -\sqrt{\frac{2}{3}} $: ponto de máximo local
- $ t = \sqrt{\frac{2}{3}} $: ponto de mínimo local
- $ t = 1 $: ponto de inflexão