Calcule as integrais iteradas abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla que é
. A matéria aqui é cálculo integral, especificamente integrais iteradas, que são usadas para calcular áreas e volumes em funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos integrar primeiro em relação a
e depois em relação a
.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a parte interna da integral, que é
. Aqui, estamos integrando em relação a
, mas perceba que a função
não depende de
. Quando integramos uma função constante em relação a
, o resultado é a constante multiplicada pelo intervalo de integração.
Então,
.
Passo 3
Agora, vamos simplificar essa expressão:
Então, nossa integral agora ficou assim:
.
Passo 4
Agora, vamos integrar
em relação a
. Para isso, usamos as regras básicas de integração:
Aplicando isso a cada termo:
Então, a antiderivada completa é
.
Passo 5
Agora, precisamos avaliar essa antiderivada nos limites de
e
:
Calculando cada parte:
Para
:
Para
:
Subtraindo:
Resposta
O valor da integral dupla é
.