Calcule as integrais iteradas abaixo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que é integral1^4 integral0^2(6 x^2-2 x) dy , dx. A matéria aqui é cálculo integral, especificamente integrais iteradas, que são usadas para calcular áreas e volumes em funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos integrar primeiro em relação a y e depois em relação a x.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a parte interna da integral, que é integral0^2(6 x^2-2 x) dy. Aqui, estamos integrando em relação a y, mas perceba que a função 6x^2 - 2x não depende de y. Quando integramos uma função constante em relação a y, o resultado é a constante multiplicada pelo intervalo de integração.
Então, integral0^2(6 x^2-2 x) dy = (6 x^2-2 x) times (2 - 0) = (6 x^2-2 x) times 2.

Passo 3

Agora, vamos simplificar essa expressão:
(6 x^2-2 x) times 2 = 12 x^2 - 4 x
Então, nossa integral agora ficou assim: integral1^4 (12 x^2 - 4 x) dx.

Passo 4

Agora, vamos integrar 12 x^2 - 4 x em relação a x. Para isso, usamos as regras básicas de integração:
integral x^n dx = x^n+1n+1 + C
Aplicando isso a cada termo:
integral 12 x^2 dx = 12 times x^33 = 4 x^3
integral -4 x dx = -4 times x^22 = -2 x^2
Então, a antiderivada completa é 4 x^3 - 2 x^2.

Passo 5

Agora, precisamos avaliar essa antiderivada nos limites de x = 1 e x = 4:
[4 x^3 - 2 x^2]1^4 = (4 (4)^3 - 2 (4)^2) - (4 (1)^3 - 2 (1)^2)
Calculando cada parte:
Para x = 4:
4 times 64 - 2 times 16 = 256 - 32 = 224
Para x = 1:
4 times 1 - 2 times 1 = 4 - 2 = 2
Subtraindo:
224 - 2 = 222

Resposta

O valor da integral dupla é 222.

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