Um dado de seis faces é jogado quatro vezes. Considere que a variável aleatória seja a quantidade de dois em todos os lançamentos, e construir um gráfico da distribuição de probabilidade. Faça no excel como atividade de auto estudo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que a gente vai jogar um dado de seis faces quatro vezes e quer saber quantas vezes dá 2 nesses lançamentos. Vamos chamar isso de variável aleatória. O conteúdo que vamos usar aqui é probabilidade e um pouquinho de estatística para construir a distribuição de probabilidade. Precisamos entender como calcular as chances de sair 0, 1, 2, 3 ou 4 vezes o número 2 nesses quatro lançamentos. Vamos resolver passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos definir nossa variável aleatória $ X $ como o número de vezes que sai 2 em quatro lançamentos de um dado. Queremos saber a probabilidade de $ X $ ser 0, 1, 2, 3 ou 4.
Passo 3
Para calcular essas probabilidades, vamos usar a Distribuição Binomial. Essa distribuição é ideal quando temos:
- Um número fixo de tentativas (no caso, 4 lançamentos).
- Cada tentativa tem dois resultados possíveis: sucesso ou fracasso (sair 2 ou não sair 2).
- A probabilidade de sucesso é a mesma em cada tentativa.
- As tentativas são independentes.
Passo 4
A fórmula da probabilidade binomial é:
Onde:
- $ n $ é o número de tentativas (4 lançamentos).
- $ k $ é o número de sucessos (quantas vezes sai 2).
- $ p $ é a probabilidade de sucesso em uma tentativa (sair 2 em um lançamento).
- $ \binom{n}{k} $ é o coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos ter $ k $ sucessos em $ n $ tentativas.
Passo 5
Vamos calcular cada parte:
- $ n = 4 $
- $ p = \frac{1}{6} $ (já que um dado tem seis faces e só uma delas é o 2)
- $ 1 - p = \frac{5}{6} $
Agora, vamos calcular para cada $ k $ de 0 a 4.
Passo 6
Para $ k = 0 $:
Para $ k = 1 $:
Para $ k = 2 $:
Para $ k = 3 $:
Para $ k = 4 $:
Passo 7
Agora que temos todas as probabilidades, vamos organizar isso em um gráfico. No Excel, você pode criar uma tabela com duas colunas: uma para $ k $ (de 0 a 4) e outra para $ P(X = k) $. Depois, seleciona os dados e insere um gráfico de colunas ou barras para visualizar a distribuição de probabilidade.
Resposta
A distribuição de probabilidade para a quantidade de vezes que sai 2 em quatro lançamentos de um dado é:
Você pode representar esses valores em um gráfico no Excel para visualizar melhor as probabilidades.