Um dado de seis faces é jogado quatro vezes. Considere que a variável aleatória seja a quantidade de dois em todos os lançamentos, e construir um gráfico da distribuição de probabilidade. Faça no excel como atividade de auto estudo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que a gente vai jogar um dado de seis faces quatro vezes e quer saber quantas vezes dá 2 nesses lançamentos. Vamos chamar isso de variável aleatória. O conteúdo que vamos usar aqui é probabilidade e um pouquinho de estatística para construir a distribuição de probabilidade. Precisamos entender como calcular as chances de sair 0, 1, 2, 3 ou 4 vezes o número 2 nesses quatro lançamentos. Vamos resolver passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos definir nossa variável aleatória $ X $ como o número de vezes que sai 2 em quatro lançamentos de um dado. Queremos saber a probabilidade de $ X $ ser 0, 1, 2, 3 ou 4.

Passo 3

Para calcular essas probabilidades, vamos usar a Distribuição Binomial. Essa distribuição é ideal quando temos:
  1. Um número fixo de tentativas (no caso, 4 lançamentos).
  2. Cada tentativa tem dois resultados possíveis: sucesso ou fracasso (sair 2 ou não sair 2).
  3. A probabilidade de sucesso é a mesma em cada tentativa.
  4. As tentativas são independentes.

Passo 4

A fórmula da probabilidade binomial é:
P(X = k) = binomnk p^k (1 - p)^n - k
Onde:
  • $ n $ é o número de tentativas (4 lançamentos).
  • $ k $ é o número de sucessos (quantas vezes sai 2).
  • $ p $ é a probabilidade de sucesso em uma tentativa (sair 2 em um lançamento).
  • $ \binom{n}{k} $ é o coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos ter $ k $ sucessos em $ n $ tentativas.

Passo 5

Vamos calcular cada parte:
  • $ n = 4 $
  • $ p = \frac{1}{6} $ (já que um dado tem seis faces e só uma delas é o 2)
  • $ 1 - p = \frac{5}{6} $
Agora, vamos calcular para cada $ k $ de 0 a 4.

Passo 6

Para $ k = 0 $:
k = 0
Para $ k = 1 $:
P(X = 0) = binom40 (16)^0 (56)^4 = 1 times 1 times (6251296) approx 0,4823
Para $ k = 2 $:
k = 1
Para $ k = 3 $:
P(X = 1) = binom41 (16)^1 (56)^3 = 4 times 16 times 125216 approx 0,3858
Para $ k = 4 $:
k = 2

Passo 7

Agora que temos todas as probabilidades, vamos organizar isso em um gráfico. No Excel, você pode criar uma tabela com duas colunas: uma para $ k $ (de 0 a 4) e outra para $ P(X = k) $. Depois, seleciona os dados e insere um gráfico de colunas ou barras para visualizar a distribuição de probabilidade.

Resposta

A distribuição de probabilidade para a quantidade de vezes que sai 2 em quatro lançamentos de um dado é:
c|c k & P(X = k) hline 0 & 0,4823 1 & 0,3858 2 & 0,1157 3 & 0,0154 4 & 0,0008
Você pode representar esses valores em um gráfico no Excel para visualizar melhor as probabilidades.

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