A experiência passada indica que um número médio de 5 clientes por hora param para colocar gasolina numa bomba. Qual é a probabilidade de mais de 2 clientes pararem em qualquer hora?
Passo 1
Vamos lá! A questão diz que, em média, 5 clientes por hora param para colocar gasolina em uma bomba. Queremos descobrir qual é a probabilidade de, em qualquer hora, mais de 2 clientes pararem. Para resolver isso, vamos utilizar a distribuição de Poisson, que é ótima para calcular probabilidades de eventos que ocorrem de forma aleatória em um intervalo fixo de tempo ou espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a distribuição de Poisson. Ela é usada quando queremos saber a probabilidade de um certo número de eventos ocorrer em um intervalo fixo, sabendo a taxa média de ocorrência. A fórmula da distribuição de Poisson é:
Onde:
- $ \lambda $ é a média de ocorrências (neste caso, 5 clientes por hora).
- $ k $ é o número de ocorrências que queremos encontrar a probabilidade.
- $ e $ é a constante de Euler, aproximadamente 2,71828.
Passo 3
Queremos encontrar a probabilidade de mais de 2 clientes pararem em uma hora, ou seja, $ P(X > 2) $. Isso é igual a 1 menos a probabilidade de, no máximo, 2 clientes pararem:
Passo 4
Agora, vamos calcular $ P(X \leq 2) $, que é a soma das probabilidades de 0, 1 e 2 clientes pararem:
Passo 5
Calculando cada termo usando a fórmula de Poisson:
Para $ k = 0 $:
Para $ k = 1 $:
Para $ k = 2 $:
Passo 6
Somando essas probabilidades:
Passo 7
Então, a probabilidade de mais de 2 clientes pararem em uma hora é:
Resposta
A probabilidade de mais de 2 clientes pararem para colocar gasolina em qualquer hora é de aproximadamente 87,54%.