A experiência passada indica que um número médio de 5 clientes por hora param para colocar gasolina numa bomba. Qual é a probabilidade de mais de 2 clientes pararem em qualquer hora?

Passo 1

Vamos lá! A questão diz que, em média, 5 clientes por hora param para colocar gasolina em uma bomba. Queremos descobrir qual é a probabilidade de, em qualquer hora, mais de 2 clientes pararem. Para resolver isso, vamos utilizar a distribuição de Poisson, que é ótima para calcular probabilidades de eventos que ocorrem de forma aleatória em um intervalo fixo de tempo ou espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a distribuição de Poisson. Ela é usada quando queremos saber a probabilidade de um certo número de eventos ocorrer em um intervalo fixo, sabendo a taxa média de ocorrência. A fórmula da distribuição de Poisson é:
P(X = k) = e^-lambda lambda^kk!
Onde:
  • $ \lambda $ é a média de ocorrências (neste caso, 5 clientes por hora).
  • $ k $ é o número de ocorrências que queremos encontrar a probabilidade.
  • $ e $ é a constante de Euler, aproximadamente 2,71828.

Passo 3

Queremos encontrar a probabilidade de mais de 2 clientes pararem em uma hora, ou seja, $ P(X > 2) $. Isso é igual a 1 menos a probabilidade de, no máximo, 2 clientes pararem:
P(X > 2)

Passo 4

Agora, vamos calcular $ P(X \leq 2) $, que é a soma das probabilidades de 0, 1 e 2 clientes pararem:
P(X <= 2)

Passo 5

Calculando cada termo usando a fórmula de Poisson:
Para $ k = 0 $:
k = 0
Para $ k = 1 $:
P(X = 0) = e^-5 times 5^00! = e^-5 times 1 / 1 = e^-5 approx 0,0067
Para $ k = 2 $:
k = 1

Passo 6

Somando essas probabilidades:
P(X <= 2) = 0,0067 + 0,0337 + 0,0842 = 0,1246

Passo 7

Então, a probabilidade de mais de 2 clientes pararem em uma hora é:
P(X > 2) = 1 - 0,1246 = 0,8754

Resposta

A probabilidade de mais de 2 clientes pararem para colocar gasolina em qualquer hora é de aproximadamente 87,54%.

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