A empresa denominada de CONCRETO RESISTENTE recebe em média 20 clientes a cada dia de trabalho. Qual a probabilidade dela receber pelo menos 5 clientes em cada dia de trabalho?

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A empresa “CONCRETO RESISTENTE” recebe, em média, 20 clientes por dia de trabalho. A pergunta é: qual a probabilidade de ela receber pelo menos 5 clientes em um dia de trabalho? Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade envolvendo a distribuição de Poisson, que é ótima para modelar o número de eventos que acontecem em um intervalo fixo de tempo, quando esses eventos ocorrem com uma taxa média conhecida.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a distribuição de Poisson. Ela é usada quando queremos saber a probabilidade de um certo número de eventos ocorrer em um intervalo fixo de tempo, dado que esses eventos acontecem com uma taxa média constante e independentemente do tempo desde o último evento. A fórmula da distribuição de Poisson é:
P(X = k) = lambda^k e^-lambdak!
Onde:
  • P(X = k) é a probabilidade de ocorrer exatamente k eventos.
  • lambda é a taxa média de ocorrência (neste caso, 20 clientes por dia).
  • e é a base do logaritmo natural (aproximadamente 2,71828).
  • k! é o fatorial de k.

Passo 3

A questão pede a probabilidade de pelo menos 5 clientes, ou seja, P(X >= 5). Mas calcular diretamente essa probabilidade pode ser trabalhoso porque envolveria somar as probabilidades de 5, 6, 7, … até o infinito de clientes. Uma forma mais prática é usar a complementaridade:
P(X >= 5) = 1 - P(X < 5) = 1 - (P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4))
Vamos calcular cada termo usando a fórmula da Poisson com lambda = 20.
Calculando cada probabilidade:
  • P(X=0) = 20^0 e^-200! = e^-20 approx 2.061 times 10^-9
  • P(X=1) = 20^1 e^-201! = 20 times e^-20 approx 4.122 times 10^-8
  • P(X=2) = 20^2 e^-202! = 200 times e^-20 approx 4.924 times 10^-7
  • P(X=3) = 20^3 e^-203! = 80006 times e^-20 approx 3.283 times 10^-6
  • P(X=4) = 20^4 e^-204! = 16000024 times e^-20 approx 1.641 times 10^-5
Somando essas probabilidades:
P(X < 5) approx 2.061 times 10^-9 + 4.122 times 10^-8 + 4.924 times 10^-7 + 3.283 times 10^-6 + 1.641 times 10^-5 approx 1.973 times 10^-5
Agora, calculamos P(X >= 5):
P(X >= 5) = 1 - 1.973 times 10^-5 approx 0.99998027

Resposta

A probabilidade da empresa receber pelo menos 5 clientes em um dia de trabalho é aproximadamente 99,998%.

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