Um dado de seis faces é jogado três vezes. Obtenha a probabilidade de sair exatamente dois 6 e construa um gráfico da distribuição de probabilidade.

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver um problema de probabilidade envolvendo um dado de seis faces lançado três vezes. Nosso objetivo é descobrir qual a chance de sair exatamente dois 6 nessas três jogadas. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre probabilidade binomial, que é quando temos um número fixo de tentativas independentes, cada uma com duas possibilidades de resultado (sucesso ou fracasso).

Passo 2

Primeiro, vamos identificar quais são os “sucessos” e “fracassos” no nosso caso. Aqui, “sucesso” é tirar um 6, e “fracasso” é tirar qualquer outro número (1, 2, 3, 4 ou 5).
A probabilidade de sucesso em uma jogada é $ p = \frac{1}{6} $ e a de fracasso é $ q = 1 - p = \frac{5}{6} $.

Passo 3

Como queremos exatamente dois 6 em três jogadas, vamos usar a fórmula da probabilidade binomial:
P(X = k) = C(n, k) times p^k times q^n - k
Onde:
  • $ n = 3 $ (número de jogadas)
  • $ k = 2 $ (número de sucessos desejados)
  • $ C(n, k) $ é o número de combinações de $ n $ coisas tomadas de $ k $ em $ k $.

Passo 4

Calculando $ C(3, 2) $:
C(3, 2)
Isso significa que existem 3 maneiras de obter exatamente dois 6 em três jogadas.

Passo 5

Agora, aplicando os valores na fórmula:
P(X = 2) = 3 times (16)^2 times (56)^1 = 3 times 136 times 56

Passo 6

Simplificando a expressão:
P(X = 2) = 3 times 5216 = 15216 = 572 approx 0,0694

Passo 7

Sobre o gráfico da distribuição de probabilidade, vamos considerar todas as possíveis quantidades de 6 que podem sair em três jogadas: 0, 1, 2 ou 3.
Aqui está uma tabela resumida:
Número de 6 (X) Probabilidade P(X)
0 $ \frac{125}{216} $ ≈ 57,87%
1 $ \frac{75}{216} $ ≈ 34,72%
2 $ \frac{5}{72} $ ≈ 6,94%
3 $ \frac{1}{216} $ ≈ 0,46%

Passo 8

Para construir o gráfico, você pode plotar o número de 6 no eixo horizontal (X) e a probabilidade correspondente no eixo vertical (P(X)). Cada ponto representará a probabilidade de sair 0, 1, 2 ou 3 seis.

Passo 9

Ficaria mais ou menos assim:
P(X)
|
|          *
|          *
|          *       *
|          *       *
|          *       *       *
|____________________________
      0       1       2       3
           Número de 6
Cada “*” representa a altura proporcional à probabilidade de cada número de 6 ocorrer.

Passo 10

E é isso! Com essa tabela e o gráfico, você consegue visualizar bem como as probabilidades estão distribuídas para esse experimento com o dado.

Resposta

A probabilidade de tirar exatamente dois 6 em três lançamentos de um dado é 572 ou aproximadamente 6,94%. Além disso, a distribuição de probabilidade apresenta as seguintes chances para cada número de 6: 0 seis ocorre com ~57,87%, 1 seis com ~34,72%, 2 seis com ~6,94% e 3 seis com ~0,46%.

Exercícios relacionados