Um dado de seis faces é jogado três vezes. Obtenha a probabilidade de sair exatamente dois 6 e construa um gráfico da distribuição de probabilidade.
Passo 1
Beleza! A gente vai resolver um problema de probabilidade envolvendo um dado de seis faces lançado três vezes. Nosso objetivo é descobrir qual a chance de sair exatamente dois 6 nessas três jogadas. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre probabilidade binomial, que é quando temos um número fixo de tentativas independentes, cada uma com duas possibilidades de resultado (sucesso ou fracasso).
Passo 2
Primeiro, vamos identificar quais são os “sucessos” e “fracassos” no nosso caso. Aqui, “sucesso” é tirar um 6, e “fracasso” é tirar qualquer outro número (1, 2, 3, 4 ou 5).
A probabilidade de sucesso em uma jogada é $ p = \frac{1}{6} $ e a de fracasso é $ q = 1 - p = \frac{5}{6} $.
Passo 3
Como queremos exatamente dois 6 em três jogadas, vamos usar a fórmula da probabilidade binomial:
Onde:
- $ n = 3 $ (número de jogadas)
- $ k = 2 $ (número de sucessos desejados)
- $ C(n, k) $ é o número de combinações de $ n $ coisas tomadas de $ k $ em $ k $.
Passo 4
Calculando $ C(3, 2) $:
Isso significa que existem 3 maneiras de obter exatamente dois 6 em três jogadas.
Passo 5
Agora, aplicando os valores na fórmula:
Passo 6
Simplificando a expressão:
Passo 7
Sobre o gráfico da distribuição de probabilidade, vamos considerar todas as possíveis quantidades de 6 que podem sair em três jogadas: 0, 1, 2 ou 3.
Aqui está uma tabela resumida:
Número de 6 (X) | Probabilidade P(X) |
---|---|
0 | $ \frac{125}{216} $ ≈ 57,87% |
1 | $ \frac{75}{216} $ ≈ 34,72% |
2 | $ \frac{5}{72} $ ≈ 6,94% |
3 | $ \frac{1}{216} $ ≈ 0,46% |
Passo 8
Para construir o gráfico, você pode plotar o número de 6 no eixo horizontal (X) e a probabilidade correspondente no eixo vertical (P(X)). Cada ponto representará a probabilidade de sair 0, 1, 2 ou 3 seis.
Passo 9
Ficaria mais ou menos assim:
P(X)
|
| *
| *
| * *
| * *
| * * *
|____________________________
0 1 2 3
Número de 6
Cada “*” representa a altura proporcional à probabilidade de cada número de 6 ocorrer.
Passo 10
E é isso! Com essa tabela e o gráfico, você consegue visualizar bem como as probabilidades estão distribuídas para esse experimento com o dado.
Resposta
A probabilidade de tirar exatamente dois 6 em três lançamentos de um dado é
ou aproximadamente 6,94%. Além disso, a distribuição de probabilidade apresenta as seguintes chances para cada número de 6: 0 seis ocorre com ~57,87%, 1 seis com ~34,72%, 2 seis com ~6,94% e 3 seis com ~0,46%.