Um dado (seis faces) tem o número 1 pintado em três faces, o número 2 pintado em duas faces e o número 3 pintado em uma face. Considere que cada face é igualmente provável de ficar voltada para cima.
Se o dado fosse tendencioso de modo que a face com o 3 tivesse duas vezes mais chance de ficar voltada para cima do que cada uma das outras cinco faces, isso alteraria P(número ímpar)? Explique.

Passo 1

Beleza, bora recapitular o que o enunciado tá pedindo e o que a gente vai usar.
Enunciado em miúdos: temos um dado de seis faces, onde o “1” aparece em três faces, o “2” em duas e o “3” em uma. Primeiro, ele é justo (todas as faces igualmente prováveis) e a gente calcula úí. Depois o dado fica enviesado: a face “3” agora tem o dobro da chance de aparecer em relação a cada uma das outras cinco faces. A pergunta é: com esse viés, a chance de sair número ímpar muda ou fica igual?
Matéria envolvida: probabilidade discreta (evento composto, soma de probabilidades) e no caso enviesado a ideia de atribuir “pesos” (ou “pesos relativos”) às faces. Vamos precisar:
  • Saber que .
  • No caso enviesado, distribuir as probabilidades de acordo com os pesos (peso 2 para a face “3” e peso 1 para cada face das outras cinco).

Passo 2

Primeiro, calculando Pjusto(ímpar) = P(1)+P(3) = 36 + 16 = 46 = 23 í no dado justo.
  • São ímpares as faces com “1” e com “3”.
  • P(1) = número de faces 1 ÷ total de faces = .
  • P(3) = .
    Como “ímpar” = “1 ou 3”, pela regra da soma:
í

Passo 3

Agora o dado fica enviesado de um jeito simples: cada uma das cinco faces (as três com “1” e as duas com “2”) tem peso 1, e a face com “3” tem peso 2.
  • Se chamarmos de 5cdot x + 1cdot(2x) = 1 Longrightarrow 7x = 1 Longrightarrow x = 17 a probabilidade de cada face peso 1, a face peso 2 terá probabilidade .
  • Como a soma de todas as probabilidades deve dar 1, temos
Logo:
  • Cada face que mostra “1” ou “2” vale .
  • A face que mostra “3” vale .

Passo 4

Calcular 3times 17 = 37 í no dado enviesado:
  • Ímpares continuam sendo “1” e “3”.
  • Há três faces com “1”, cada uma com probabilidade Pviés(ímpar) = 37 + 27 = 57 . Então total vindo de “1” é
  • A face com “3” tem probabilidade .
    Somando:
éí

Resposta

Sim, úí muda. No dado justo era e no dado enviesado passa a ser .

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