Um dado (seis faces) tem o número 1 pintado em três faces, o número 2 pintado em duas faces e o número 3 pintado em uma face. Considere que cada face é igualmente provável de ficar voltada para cima.
Se o dado fosse tendencioso de modo que a face com o 3 tivesse duas vezes mais chance de ficar voltada para cima do que cada uma das outras cinco faces, isso alteraria
(número ímpar)? Explique.
Se o dado fosse tendencioso de modo que a face com o 3 tivesse duas vezes mais chance de ficar voltada para cima do que cada uma das outras cinco faces, isso alteraria
Passo 1
Beleza, bora recapitular o que o enunciado tá pedindo e o que a gente vai usar.
Enunciado em miúdos: temos um dado de seis faces, onde o “1” aparece em três faces, o “2” em duas e o “3” em uma. Primeiro, ele é justo (todas as faces igualmente prováveis) e a gente calcula . Depois o dado fica enviesado: a face “3” agora tem o dobro da chance de aparecer em relação a cada uma das outras cinco faces. A pergunta é: com esse viés, a chance de sair número ímpar muda ou fica igual?
Matéria envolvida: probabilidade discreta (evento composto, soma de probabilidades) e no caso enviesado a ideia de atribuir “pesos” (ou “pesos relativos”) às faces. Vamos precisar:
Enunciado em miúdos: temos um dado de seis faces, onde o “1” aparece em três faces, o “2” em duas e o “3” em uma. Primeiro, ele é justo (todas as faces igualmente prováveis) e a gente calcula
Matéria envolvida: probabilidade discreta (evento composto, soma de probabilidades) e no caso enviesado a ideia de atribuir “pesos” (ou “pesos relativos”) às faces. Vamos precisar:
- Saber que
. - No caso enviesado, distribuir as probabilidades de acordo com os pesos (peso 2 para a face “3” e peso 1 para cada face das outras cinco).
Passo 2
Primeiro, calculando
no dado justo.
- São ímpares as faces com “1” e com “3”.
- P(1) = número de faces 1 ÷ total de faces =
. - P(3) =
.
Como “ímpar” = “1 ou 3”, pela regra da soma:
Passo 3
Agora o dado fica enviesado de um jeito simples: cada uma das cinco faces (as três com “1” e as duas com “2”) tem peso 1, e a face com “3” tem peso 2.
- Se chamarmos de
a probabilidade de cada face peso 1, a face peso 2 terá probabilidade . - Como a soma de todas as probabilidades deve dar 1, temos
Logo:
- Cada face que mostra “1” ou “2” vale
. - A face que mostra “3” vale
.
Passo 4
Calcular
no dado enviesado:
- Ímpares continuam sendo “1” e “3”.
- Há três faces com “1”, cada uma com probabilidade
. Então total vindo de “1” é - A face com “3” tem probabilidade
.
Somando:
Resposta
Sim,
muda. No dado justo era
e no dado enviesado passa a ser
.